Question

cho phương trình:\(x^2+\left(m+1\right)x+m=0\)

xác định m để phương trình có 2 nghiệm \(x_1,x_2\)thỏa

\(x_1^2+x_2^2\) đạt gtnn

Answer 1

Lời giải:

Trước tiên để pt có 2 nghiệm thì:

\(\Delta=(m+1)^2-4m>0\Leftrightarrow (m-1)^2>0\Leftrightarrow m\neq 1\)

Khi đó áp dụng định lý Vi-et ta có:

\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=-(m+1)\\ x_1x_2=m\end{matrix}\right.\)

Từ đây \(\Rightarrow x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2\)

\(=[-(m+1)]^2-2m=m^2+1\)

Vì \(m^2\geq 0, \forall m\neq 1\Rightarrow x_1^2+x_2^2=m^2+1\geq 1\)

Vậy \(x_1^2+x_2^2\) đạt min bằng $1$ khi $m=0$