Question

Cho phương trình \(x^2-mx-3=0\)

Tìm m để biểu thức \(A=x_1^2+x^2_2+x_1+x_2\)đạt giá trị nhỏ nhất

Answer 1

\(x^2-mx-3=0\)

\(\Delta=\left(-m\right)^2-4.\left(-3\right)=m^2+12\ge0\forall m\)

Vì \(\Delta\ge0\) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn hệ thức Vi-ét:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m\\x_1x_2=-3\end{matrix}\right.\)

\(A=x^2_1+x^2_2+x_1+x_2\)

\(A=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2+x_1+x_2\)

\(A=m^2-2.\left(-3\right)+m\)

\(A=m^2+m+6\)

\(A=m^2+2.\frac{1}{2}m+\frac{1}{4}+\frac{19}{4}\)

\(A=\left(m+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{19}{4}\ge\frac{19}{4}\)

Vậy \(A_{min}=\frac{19}{4}\Leftrightarrow m=\frac{1}{2}\)