Question

Cho phương trình \(x^2-4x+m=0\) có hai nghiệm \(x_1,x_2\) . Tìm m để biểu thức A =\(x_1^2+x_2^2+3x_1x_2\) đạt giá trị lớn nhất

Answer 1

phương trình: x²-4x+m=0

Ta có \(\Delta'=\left(-2\right)^2-1.m=4-m\)

Để phương trình đã cho có hai nghiệm thì:

\(\Delta'\ge0\Leftrightarrow4-m\ge0\Leftrightarrow m\le4\)

Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=4\\x_1.x_2=m\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(A=x_1^2+x_2^2+3x_1x_2\)

\(=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2+3x_1x_2\)

\(=\left(x_1+x_2\right)^2+x_1x_2\)

\(=4^2+m=16+m\)

Vì \(m\le4\Rightarrow16+m\le4+16\Leftrightarrow A=x_1^2+x_2^2+3x_1x_2\le20\)

dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi m=4

vậy khi m=4 thì A đạt GTLN là 20