Ta có
\(\Delta'=\left[-\left(m+2\right)\right]^2-\left(2m+1\right)=m^2+4m+4-2m-1\\ =m^2+2m+3=\left(m+1\right)^2+2\ge2>0\forall m\)
Vậy phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m
Áp dụng Viet ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+2\right)\\x_1\cdot x_2=2m+1\end{matrix}\right.\)
\(A=x_1x_2-\frac{x^2_1+x^2_2}{4}\\ =\frac{4x_1x_2-x^2_1-x^2_2}{4}\\ =-\frac{x_1^2-4x_1x_2+x^2_2}{4}=-\frac{\left(x_1+x_2\right)^2-6x_1x_2}{4}\\ =-\frac{\left[2\left(m+2\right)\right]^2-6\left(2m+1\right)}{4}\\ =-\frac{2m^2+8m+8-12m-6}{4}=-\frac{2m^2-4m+2}{4}\\ =-\frac{2\left(m-1\right)^2}{4}\)
Ta thấy
\(2\left(m-1\right)^2\ge0\forall m\Leftrightarrow\frac{2\left(m-1\right)^2}{4}\ge0\Leftrightarrow-\frac{2\left(m-1\right)^2}{4}\le0\)
Vậy Max A = 0 khi m = 1
