Question

Cho phương trình: \(x^2-2\left(m+1\right)x+m-4=0\) (m là tham số)

Tìm m để phương trình có 2 nghiệm \(x_1;x_2\) thỏa mãn \(\left|x_1-x_2\right|+1\) đạt giá trị nhỏ nhất

Answer 1

\(\Delta'=\left(m+1\right)^2-m+4=m^2+m+5>0;\forall m\)

Phương trình luôn luôn có 2 nghiệm

Theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1x_2=m-4\end{matrix}\right.\)

Xét \(A=\left|x_1-x_2\right|\ge0\)

\(\Leftrightarrow A^2=\left(x_1-x_2\right)^2=\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2\)

\(\Leftrightarrow A^2=4\left(m+1\right)^2-4\left(m-4\right)\)

\(\Leftrightarrow A^2=4m^2+4m+20\)

\(\Leftrightarrow A^2=\left(2m+1\right)^2+19\ge19\)

\(\Rightarrow A\ge\sqrt{19}\Rightarrow\left|x_1-x_2\right|+1\ge\sqrt{19}+1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(m=-\frac{1}{2}\)