Question

Cho phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}2x+y=5\\2y-x=a+5\end{matrix}\right.\)

Tìm a để hệ phương trình có nghiệm ( x,y) sao cho tích xy lớn nhất 

Answer 1

Viết lại hệ \(\left\{{}\begin{matrix}2x+y=5\\-x+2y=a+5\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x+y=5\\-2x+4y=2a+10\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow5y=2a+15\Leftrightarrow y=\dfrac{2a+15}{5}\)

\(\Leftrightarrow x=2y-a-5=\dfrac{5-a}{5}\)

\(xy=\dfrac{5-a}{5}.\dfrac{2a+15}{5}=\dfrac{-2a^2-5a+75}{25}=\dfrac{-\left(a+\dfrac{5}{4}\right)^2+\dfrac{625}{8}}{25}\le\dfrac{25}{8}\)

\(max=\dfrac{25}{8}\Leftrightarrow a=-\dfrac{5}{4}\)