+ Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của pt:
\(ax^2=bx+c\Leftrightarrow ax^2-bx-c=0\) (1)
+ vì a là độ dài cạnh của 1 tg => a > 0 => pt (1) là pt bậc 2 ẩn x
\(\Delta=\left(-b\right)^2+4ac=b^2+4ac>0\forall a,b,c>0\)
=> pt (1) có 2 nghiệm pb \(x_1,x_2\) => (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A, B
+ Theo hệ thức Viet ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\frac{b}{a}\\x_1x_2=-\frac{c}{a}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=\left(\frac{b}{a}\right)^2+\frac{2c}{a}\)
\(=\frac{b^2+2ac}{a^2}=\frac{a^2-c^2+2ac}{a^2}=2-\left(\frac{a-c}{a}\right)^2\)
+ a,b,c là độ dài 3 cạnh 1 tg vuông có a là cạnh huyền
=> \(a>c\Rightarrow x_1^2+x_2^2=2-\left(\frac{a-c}{a}\right)^2< 2\)
Pitago: \(a^2=b^2+c^2\Rightarrow b^2=a^2-c^2\)
Pt hoành độ giao điểm: \(ax^2-bx-c=0\)
\(-ac< 0\Rightarrow\) pt luôn có 2 nghiệm pb trái dấu hai (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm pb thỏa mãn \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\frac{b}{a}\\x_1x_2=-\frac{c}{a}\end{matrix}\right.\)
Đặt \(A=x_1^2+x_2^2\)
\(A=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=\frac{a^2-c^2}{a^2}+\frac{2c}{a}\)
\(A=\frac{a^2-c^2+2ac}{a^2}=\frac{2a^2-\left(a^2-2ac+c^2\right)}{a^2}=2-\left(\frac{a-c}{a}\right)^2< 2\) (đpcm)
