Question

Cho parabol (P): y=-x² và đường thẳng (d) đi qua điểm I(0;-1) và cod hệ số góc là k. Gọi A và B là các giao điểm của (P) và (d). Giả sử A, B lần lượt có hoành độ là x₁, x₂.

1) Tìm k để trung điểm của đoạn thẳng AB nằm trên trục tung.

2) Chứng minh rằng |x₁³ - x₂³|≥2 (∀kϵR).

Answer 1

1: (d): y=kx+b

Thay x=0 và y=-1 vào (d), ta được:

\(b+k\cdot0=-1\)

=>b=-1

=>(d): y=kx-1

Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(-x^2-kx+1=0\)

=>\(x^2+kx-1=0\)

Để trung điểm của AB nằm trên trục tung thì \(x_A+x_B=0\)

=>k=0

2: \(x_1-x_2=\sqrt{\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2}=\sqrt{k^2+4}\)

\(\left|x_1^3-x_2^3\right|=\left|\left(x_1-x_2\right)^3+3x_1x_2\left(x_1-x_2\right)\right|\)

\(=\left|\sqrt{\left(k^2+4\right)^3}-3k\sqrt{k^2+4}\right|\)

\(=\left|\sqrt{k^2+4}\left(k^2+4-3k\right)\right|>=2\)