Lời giải:
a) Xét pt hoành độ giao điểm:
\(\frac{1}{4}x^2=mx+1\)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{4}x^2-mx-1=0(*)\)
Ta thấy \(\Delta=(-m)^2-4.\frac{1}{4}.(-1)=m^2+1>0, \forall m\in\mathbb{R}\)
Vậy pt hoành độ giao điểm luôn có 2 nghiệm pb, tức là 2 đths luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
b)
Gọi $x_A,x_B$ là 2 nghiệm của pt $(*)$. Theo định lý Viete:
\(\left\{\begin{matrix} x_A+x_B=4m\\ x_Ax_B=-4\end{matrix}\right.\)
\(AB=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(mx_A+1-mx_B-1)^2}\)
\(=\sqrt{(m^2+1)(x_A-x_B)^2}=\sqrt{(m^2+1)[(x_A+x_B)^2-4x_Ax_B]}\)
\(=\sqrt{(m^2+1)(16m^2+16)}=4(m^2+1)\)
\(d(O,AB)=\frac{|m.0-0+1|}{\sqrt{m^2+1}}=\frac{1}{\sqrt{m^2+1}}\)
\(\Rightarrow S_{OAB}=\frac{AB.d(O,AB)}{2}=2\sqrt{m^2+1}\geq 2\sqrt{0+1}=2\)
Vậy $S_{OAB}$ min bằng $2$ khi $m=0$
