Cho (O;R) đường kính BC. Lấy A trên (O) sao cho AB = R
a) Tính số đo góc A;B;C và cạnh AC của tam giác ABC theo R
b) Đường cao AH của tam giác ABC cắt (O) tại D. Chứng minh BC là đường trung trực của AD và tam giác ADC đều
c) Tiếp tuyến tại D của (O) cắt đường thẳng BC tại E. Chứng minh EA là tiếp tuyến của (O)
d) Chứng minh: EB.CH=BH.EC
a) Xét tam giác ABO có:AB=AO=BO=R
⇒△ABO đều⇒\(\widehat{ABC}=60^0\)
Góc BAC nội tiếp chắn nửa đường tròn nên bằng 90 độ⇒\(\widehat{ACB}=30^0\)
Ta có: AB=R;BC=2R⇒AC=\(\sqrt{4R^2-R^2}=R.\sqrt{3}\)
b) Xét (O) có: BC là đường kính vuông góc với dây AD⇒BC vuông góc với AD tại trung điểm H của AD⇒BC là trung trực của AD
Xét △ADC có CH vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến⇒△ADC cân tại C
Mà \(\widehat{CAD}=60^0\)
Suy ra △ADC đều
c) Chứng minh tứ giác ACDE là hình thoi⇒DC//AE
Mà OA vuông góc với DC do△ADC đều⇒OA⊥OE⇒AE là tiếp tuyến của (O)
d) Ta có: BE=R;CH=\(\dfrac{3R}{2}\);BH=\(\dfrac{R}{2}\);EC=3R
Vậy EB.CH=\(\dfrac{R.3R}{2}=\dfrac{3R^2}{2}\)
BH.CE=\(\dfrac{3R.R}{2}=\dfrac{3R^2}{2}\)
Vậy \(EB.CH=BH.EC\)
