a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔOKB vuông tại O có OI là đường cao ứng với cạnh huyền BK, ta được:
\(IK\cdot IB=OI^2\)(1)
Xét (O) có
BC là dây khác đường kính
OA là một phần đường kính
BC⊥OA tại I(gt)
Do đó: I là trung điểm của BC(Định lí đường kính vuông góc với dây)
hay IB=IC(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(IK\cdot IC=OI^2\)
Xét ΔABC có
AI là đường cao ứng với cạnh BC(AI⊥BC)
AI là đường trung tuyến ứng với cạnh BC(I là trung điểm của BC)
Do đó: ΔABC cân tại A(Định lí tam giác cân)
⇒AB=AC
Xét ΔABO và ΔACO có
AB=AC(cmt)
OB=OC(=R)
OA chung
Do đó: ΔABO=ΔACO(c-c-c)
⇒\(\widehat{ABO}=\widehat{ACO}\)(hai góc tương ứng)
mà \(\widehat{ABO}=90^0\)(AB là tiếp tuyến của (O) có B là tiếp điểm)
nên \(\widehat{ACO}=90^0\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔOCA vuông tại C có CI là đường cao ứng với cạnh huyền OA, ta được:
\(OI\cdot IA=CI^2\)
Áp dụng định lí Pytago vào ΔOIC vuông tại I, ta được:
\(OC^2=OI^2+IC^2\)
\(\Leftrightarrow IK\cdot IC+OI\cdot IA=R^2\)(đpcm)
