Cho (O:R) , dây BC <2R và A là điể>m chình giữa cung nhỏ BC , gọi M là điểm tùy ý trên cung lớn BC ( CM >BM>0).Qua C kẻ tiếp tuyến Cx với đường tròn (O) . Đường thẳng MA cắt Cx và BC lần lượt ở Q và N . Đường thẳng MB cắt AC tại P .
a, Chứng minh tứ giác PQCM nội tiếp
b, Chứng minh PQ song song BC
c, Qua A kẻ tiếp tuyến với đường tròn , tiếp tuyến này cắt Cx tại E . Chứng minh CE/CN + CE/CQ =1
xét (o) ta có : cung BA bằng cung AC (A là điểm chính giửa cung nhỏ BC)
BMA là góc nội tiếp chắng cung BA
ACQ là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây chắng cung AC
mà cung BA bằng cung AC (chứng minh trên)
\(\Rightarrow\) BMA = ACQ
\(\Leftrightarrow\) PMQ = PCQ
xét tứ giác PQCM ta có :
PMQ = PCQ (chứng minh trên)
mà PMQ và PCQ là 2 góc kề nhau cùng chắng cung PQ của tứ giác PQCM
\(\Rightarrow\) tứ giác PQCM là tứ giác nội tiếp (đpcm)
xét (o) ta có : BMA = BCA (2 góc nội tiếp cùng chắng cung AB)
xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác PQCM ta có :
CPQ = CMQ
\(\Leftrightarrow\) CPQ = AMC
mà BMA = AMC (cung AB bằng cung AC)
\(\Rightarrow\) BCA = CPQ
mà 2 góc này ở vị trí so le
\(\Rightarrow\) PQ // BC (đpcm)
