cho nữa đường tròn tâm O đường kính AB, lấy điểm M bất kỳ thuộc nữa đường tròn (M khác A,B).Tia phân giác của góc MBA cắt đường tròn tại E. gọi Flaf giao điểm của AE và BM ; K là giao điểm của BE và AM .
1) CM : từ giác EKMF nội tiếp .
2) CM :△FEM∼ △FBA.
3) CM :EM2 =EK.EB.
4) tia BE cắt tiếp tuyến gua A của nữa đường tròn (O) tại H. CM : FKAH là hình thoi
1) Ta có \(\widehat{AEB}=\widehat{AMB}=90^0\Rightarrow\widehat{FEB}=\widehat{FME}=90^0\)
Xét tứ giác EKMF có
\(\widehat{FEB}+\widehat{FME}=90^0+90^0=180^0\Rightarrow\)tứ giác EKMF nội tiếp
2) Ta có tứ giác EMBA nội tiếp (O)\(\Rightarrow\widehat{FEB}=\widehat{FBA}\)
Xét △FEM và △FBA có
\(\widehat{FEB}=\widehat{FBA}\)(cmt)
\(\widehat{F}\) chung
Suy ra △FEM \(\sim\) △FBA(g-g)
3) Ta có \(EB\) là tia phân giác của \(\widehat{MBA}\)\(\Rightarrow\stackrel\frown{ME}=\stackrel\frown{EA}\)
Xét △EMK và △EBM có
\(\widehat{E}\) chung
\(\widehat{EMK}=\widehat{MBE}\)(2 góc nội tiếp chắn 2 cung \(\stackrel\frown{AE},\stackrel\frown{ME}\)bằng nhau)
Suy ra △EMK \(\sim\) △EBM(g-g)
\(\Rightarrow\frac{EM}{EB}=\frac{EK}{EM}\Rightarrow EM^2=EK.EB\)
4) Xét △FAB có BE vừa là đường cao vừa là đường phân giác\(\Rightarrow\)△FAB cân tại B hay FB=FA
Xét △FBH và △ABH có
FB=FA(cmt)
BH chung
\(\widehat{FBH}=\widehat{HBA}\)
Suy ra △FBH = △ABH(c-g-c)\(\Rightarrow\widehat{BFH}=\widehat{HAB}=90^0\Rightarrow\)HF⊥FB
Mà AM⊥FB
Suy ra HF//AM hay HF//AK(1)
Xét △FAB có
AM và BE là 2 đường cao cắt chau tại K
\(\Rightarrow\)FK là đường cao của △FAB hay FK⊥AB
Mà AH⊥AB
Suy ra AH//FK(2)
Từ (1),(2)\(\Rightarrow\)FKAH là hình bình hành
Mà \(\widehat{AEK}=90^0\)
Suy ra FKAH là hình thoi
