Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By. Tiếp tuyến tại M với (O) (M khác A và B) cắt Ax, By lần lượt tại C và D.
a) Chứng minh A, C, M, O cùng thuộc một đườg tròn.
b) Chứng minh AC + BD = DC, góc COD=90°, AC. BD =R^2
c) Gọi N là giao điểm của AD và BC. Tia MN cắt AB tại H. Chứng minh MN song song với AC, N là trung điểm của MH.\(^{ }\)
(tự vẽ hình)
a) Ta có: CA⊥OA và CM⊥OM (tiếp tuyến vuông góc với bán kính)
=> 2 tam giác vuông OCA và OCM cùng nội tiếp trong mỗi nửa đường tròn đường kính OC.
Vậy 4 điểm A,C,M,O cùng thuộc đường tròn đường kính OC.
b) Ta có: AC=MC và BD=MD (2 tiếp tuyến cắt nhau tại 1 điểm)
=> AC+BD=MC+MD=DC
OC là phân giác góc AOM; OD là phân giác góc MOB (t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau tại 1 điểm)
mà góc AOM và góc MOB là hai góc kề bù (A,O,B thẳng hàng)
=> góc COD = 900 (2 tia phân giác của 2 góc kề bù thì vuông góc)
Tam giác COD vuông tại O có OM là đường cao nên ta có:
MC.MD=OM2 mà MC=AC; MD=BD
=> AC.BD=OM2=R2
c) ΔACN∼ΔDBN (do AC//BD vì cùng vuông góc với AB)
=> \(\frac{NA}{ND}=\frac{AC}{DB}\)
mà AC=MC và DB=MD
=> \(\frac{NA}{ND}=\frac{MC}{MD}\)
=> MN//AC (t/c các đoạn thẳng tỉ lệ)
Ta có: \(\frac{MN}{AC}=\frac{ND}{AD}\) (2 tam giác DMN và DCA đồng dạng do MN//AC)
mà \(\frac{ND}{AD}=\frac{NB}{CB}\) (do AC//BD)
mà \(\frac{NB}{CB}=\frac{NH}{AC}\) (2 tam giác NHB và CAB đồng dạng do NH//CA)
=> \(\frac{MN}{AC}=\frac{NH}{AC}\) ⇔ MN=NH
Vậy N là trung điểm MH
