Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
EDOGAWA CONAN

Cho nửa đường tròn , đường kính AB = 2R . M là 1 điểm di động trên nửa đường tròn đó . Vẽ đường tròn tâm M tiếp xúc với AB tại H . Từ A và B vẽ 2 tiếp tuyến AC , BD với ( M )

a , CMR 3 điểm C , M , D cùng nằm trên tiếp tuyến của ( M )

b , CMR AC + BD không đổi

c , Tính AC . BD theo CD

d , giả sử CD cắt Ab tại K . CMR \(OA^2=OB^2=OH.OK\)

Akai Haruma
17 tháng 1 2019 lúc 16:42

Lời giải:

a) Đề bài không chuẩn. Có lẽ là CMR 3 điểm $C,M,D$ cùng nằm trên đường kính của $(M)$.

Ta thấy $AH,AC,BH,BD$ là tiếp tuyến của $(M)$

Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau thì:
$MA$ là phân giác của góc \(\widehat{CMH}\)

$MB$ là phân giác của góc \(\widehat{DMH}\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \widehat{CMH}=2\widehat{AMH}\\ \widehat{DMH}=2\widehat{BMH}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \widehat{CMH}+\widehat{DMH}=2(\widehat{AMH}+\widehat{BMH})\)

\(\Leftrightarrow \widehat{CMD}=2\widehat{AMB}\)

\(\widehat{AMB}=90^0\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\(\Rightarrow \widehat{CMD}=2.90^0=180^0\Rightarrow C,M,D\) thẳng hàng

Mà $C,D\in (M)$ nên $CD$ là bán kính của $(M)$, hay $C,M,D$ cùng nằm trên đường kính $(M)$

b)

Theo tính chất tiếp tuyến cắt nhau:

\(\left\{\begin{matrix} AC=AH\\ BD=BH\end{matrix}\right.\Rightarrow AC+BD=AH+BH=AB=2R\) không đổi

Ta có đpcm

c)

Theo phần b: \(AC.BD=AH.BH\)

Mà xét tam giác $AMB$ vuông tại $M$ có đường cao $MH$, ta áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông thì: \(MH^2=AH.BH\)

Và: \(MH=\frac{CD}{2}\)( bán kính bằng một nửa đường kính)

\(\Rightarrow AC.BD=AH.BH=(\frac{CD}{2})^2=\frac{CD^2}{4}\)

d)

\(AC\parallel BD(\) cùng vuông góc với $CD$)

\(\Rightarrow ACDB\) là hình thang

Xét hình thang trên dễ thấy $OM$ là đường trung bình của hình thang nên \(OM\parallel AC\Rightarrow OM\perp CD\) \(\Rightarrow OM \perp KM\)

Xét tam giác vuông $KMO$ vuông tại $M$ có đường cao $MH$, áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông: \(OH.OK=MO^2=R^2=OA^2=OB^2\) (đpcm)


Akai Haruma
17 tháng 1 2019 lúc 16:45

Hình vẽ:
Violympic toán 9

Akai Haruma
17 tháng 1 2019 lúc 16:50

Hình vẽ:
Violympic toán 9


Các câu hỏi tương tự
Trần Hạo Thiên
Xem chi tiết
Hày Cưi
Xem chi tiết
16 Huỳnh Tuấn Kiệt
Xem chi tiết
Nguyễn Thị My
Xem chi tiết
Tấn Đạt
Xem chi tiết
14.Nguyễn Anh Khoa 8A3
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
KYAN Gaming
Xem chi tiết
hello hello
Xem chi tiết