Question

 Cho n số x₁, x₂, ..., x_n ,mỗi số nhận giá trị 1 hoặc -1.

Chứng minh rằng nếu x₁.x₂ + x₂.x₃ + ...+ x_n.x₁ = 0 thì n chia hết cho 4.

Answer 1

Lời giải:
Vì $x_1,x_2,...,x_n$ nhận giá trị $1$ hoặc $-1$ nên $x_1x_2,x_2x_3,...,x_nx_1$ nhận giá trị $1$ hoặc $-1$

Để tổng $x_1x_2+...+x_nx_1=0$ thì số số hạng nhận giá trị $1$ bằng số số hạng nhận giá trị $-1$

Gọi số số hạng nhận giá trị $1$ và số số hạng nhận giá trị $-1$ là $k$

Tổng số số hạng: $n=k+k=2k$ 

Lại có:

$(-1)^k1^k=x_1x_2.x_2x_3...x_nx_1=(x_1x_2...x_n)^2=1$

$\Rightarrow k$ chẵn 

$\Rightarrow n=2k\vdots 4$