Question

Cho n ϵ N*. Chứng minh:

a, 1+\(\dfrac{1}{2^2}\)+\(\dfrac{1}{3^2}\)+...+\(\dfrac{1}{\left(n-1\right)^2}\)+\(\dfrac{1}{n^2}\) < 2

b, 1+\(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)+\(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)+...+\(\dfrac{1}{\sqrt{n}}\) > 2 (\(\sqrt{n+1}-1\))

Answer 1

a/ \(1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{n^2}=1+\dfrac{1}{2.2}+...+\dfrac{1}{n.n}\)

\(< 1+\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+...+\dfrac{1}{\left(n-1\right)n}\)

\(=1+\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}\)

\(=1+1-\dfrac{1}{n}=2-\dfrac{1}{n}< 2\)

Answer 2

Câu b dùng quy nạp đi b

Answer 3

Answer 4

b/ Với n = 1 thì \(1>2\left(\sqrt{2}-1\right)\left(đung\right)\)

Giả sử BĐT đúng đến \(n=k\)

\(\Rightarrow1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{k}}>2\left(\sqrt{k+1}-1\right)\)

Ta cần chứng minh BĐT đúng với \(n=k+1\) hay

\(1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{k}}+\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}>2\left(\sqrt{k+2}-1\right)\)

Mà ta có:

\(1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{k}}+\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}>2\left(\sqrt{k+1}-1\right)+\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}\)

Nên ta chứng minh

\(2\left(\sqrt{k+1}-1\right)+\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}>2\left(\sqrt{k+2}-1\right)\)

(Cái này chứng minh đơn giản nên b tự làm nhé)

Vậy theo quy nạp thi BĐT được chứng minh.