Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Hoàng Quốc Tuấn

Cho n lẻ , n nguyên tố cùng nhau với 5. CMR \(n^4-1⋮80\)

Akai Haruma
2 tháng 12 2019 lúc 19:13

Lời giải:

Ta có: $n^4-1=(n^2-1)(n^2+1)$

Ta biết rằng một số chính phương khi chia $5$ có thể có dư là $0,1,4$. Áp dụng điều này với $(n,5)=1$ thì $n^2$ chia $5$ dư $1$ hoặc $4$

Nếu $n^2$ chia $5$ dư $1$ $\Rightarrow n^2-1\vdots 5\Rightarrow n^4-1\vdots 5$

Nếu $n^2$ chia $5$ dư $4$ $\Rightarrow n^2+1\vdots 5\Rightarrow n^4-1\vdots 5$

Vậy $n^4-1\vdots 5(1)$

----------------

$n$ lẻ nên đặt $n=2k+1$ với $k$ nguyên

$n^4-1=(n^2-1)(n^2+1)=[(2k+1)^2-1][(2k+1)^2+1]=(4k^2+4k)(4k^2+4k+2)=8k(k+1)(2k^2+2k+1)$

Thấy $k(k+1)$ là tích 2 số nguyên liên tiếp nên $k(k+1)\vdots 2$

$\Rightarrow n^4-1=8k(k+1)(2k^2+2k+1)\vdots 16(2)$

Từ $(1);(2)$ mà $(5,16)=1$ nên $n^4-1\vdots (5.16=80)$ (đpcm)

Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
Minh Hiếu
Xem chi tiết
Phuong Tran
Xem chi tiết
Trần Việt Khoa
Xem chi tiết
Kun ZERO
Xem chi tiết
Cao Thi Thuy Duong
Xem chi tiết
Ánh Right
Xem chi tiết
Nguyễn Thùy Chi
Xem chi tiết
Lee Thuu Hà
Xem chi tiết
Hoàng Hải Đăng
Xem chi tiết