Nếu nn chẵn thì cái tổng chia hết cho 2
Nếu nn lẻ thì
Phân tích nhân tử
Ta có n4+4n=(n2)2+(2n)2+2.n2.2n−2.n2.2n=(n2+2n)2−n2.2n+1=(n2+2n−n.2n+12)(n2+2n+n.2n+12)n4+4n=(n2)2+(2n)2+2.n2.2n−2.n2.2n=(n2+2n)2−n2.2n+1=(n2+2n−n.2n+12)(n2+2n+n.2n+12)
Ta chỉ cần chứng minh cả 2 thừa số đều lớn hơn 1 là được
Tức là ta chứng minh n2+2n−n.2n+12≥1n2+2n−n.2n+12≥1
Tương đương với n2+2n+1−2n.2n+12+n2≥2n2+2n+1−2n.2n+12+n2≥2 ( nhân 2 cho 2 vế )
BĐT <=>(n−2n+12)2+n2≥2<=>(n−2n+12)2+n2≥2 đúng với nn lẻ và n≥3n≥3
Vậy, ta có điều phải chứng minh
TH1: n là số chẵn
=> n chia hết cho 2
=> n là hợp số
TH2: n là số lẻ
=> n = 2k + 1
=> \(n^4+4n=n^4+2^{2n}=n^4+2.2^n+2^{2n}-2.2^n\)
\(=\left(n^2+2^n\right)^2-2.2^{2k+1}\)
\(=\left(n^2+2^n\right)^2-\left(2^{2k+1}\right)^2\)
\(=\left(n^2+2^n-2^{2k+1}\right)\left(n^2+2^n+2^{2k+1}\right)\)
Vì \(\left(n^2+2^n-2^{2k+1}\right)\left(n^2+2^n+2^{2k+1}\right)\)
là tích của hai số nên n4 + 4n là hợp số
=> đpcm
Vì n là số tự nhiên lớn hơn 1 nên xảy ra hai trường hợp:
TH1:n là số chẵn \(\Rightarrow n^4+4^n\) là hợp số
TH2:n là số lẻ\(\Rightarrow n=2k+1\)
thì \(n^4+4^n=n^4+4^{2k+1}=\left(n^2+n^{2k+1}\right)^2-n^2.2^{2k+2}=\left(n^2+2^{2k+1}+n.2^{k+1}\right)\left(n^2+2^{2k+1}-n.2^{k+1}\right)\)
Ta có :\(n^2+2^{2k+1}\ge2.n.2\dfrac{2k+1}{2}=n.2^{k+1}\)
Mà n là số lẻ và lớn hơn 1 nên \(n^2+2^{2k+1}-n.2^{k-1}>1\)
Vậy \(n^4+4^n\) là hợp số
Chúc Bạn Học Tốt!!!
