Question

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên a,tồn tại số tự nhiên b sao cho \(ab+4\) là số chính phương

Answer 1

Theo đề bài, lập biểu thức sau:

\(ab+4=x^2\)

\(\Leftrightarrow x^2-4=ab\)

\(\Leftrightarrow x^2-2^2=ab\)

\(\Rightarrow\left(x+2\right)\left(x-2\right)=ab\) (luôn đúng với mọi ab)

=> đpcm

Answer 2

Đặt \(ab+4=m^2\left(m\in N\right)\)

\(\Rightarrow ab=m^2-4=\left(m-2\right)\left(m+2\right)\)

\(\Rightarrow b=\frac{\left(m-2\right)\left(m+2\right)}{a}\)

Ta có : \(m=a+2\Rightarrow m-2=a\)

\(\Rightarrow b=\frac{a\left(a+4\right)}{a}=a+4\)

Vậy với mọi số tự nhiên \(a\) luôn tồn tại \(b=a+4\) để \(ab+4\) là số chính phương .

Answer 3

Ta có : 

\(ab+4=n^2\\ \\\Leftrightarrow x^2-4=ab\\ \Leftrightarrow x^2-x^2=ab\\ \Rightarrow\left(x+2\right)\left(x-2\right)=ab\)

=>đpcm

Answer 4

Đặt ab + 4 = m\(^2\) (m ∈ N)

 ⇒ab = m\(^2\)− 4 = (m − 2) (m + 2)

 ⇒b =\(\frac{\left(m-2\right).\left(m+2\right)}{a}\)

Ta có:m=a+2\(\Rightarrow\) m-2=a

\(\Rightarrow\)b=\(\frac{a\left(a+4\right)}{a}\)=a+4

Vậy với mọi số tự nhiên a luôn tồn tại b = a + 4 để ab + 4 là số chính phương.