Question

Cho n là 1 số tự nhiên, \(n\ge10\).Chứng minh rằng giữa n và 3n luôn tồn tại một số là lập phương đúng của 1 số nguyên.

Answer 1

Giả sử giữa n và 3n không tồn tại một lập phương đúng nào

\(\Leftrightarrow k^3\le n< 3n\le\left(k+1\right)^3\)

\(\Rightarrow\left(k+1\right)^3>3k^3\)

\(\Leftrightarrow k+1>k\sqrt[3]{3}\)

\(\Leftrightarrow k< \frac{1}{\sqrt[3]{3}-1}\)

\(\Rightarrow3n\le\left(\frac{1}{\sqrt[3]{3}-1}+1\right)^3< 36\)

\(\Rightarrow n< 12\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}n=10\\n=11\end{matrix}\right.\)

Nhưng với \(n=10\) thì giữa 10 và 30 có 27 (ktm)

\(n=11\) tương tự

Vậy điều giả sử là sai