Xét mặt phẳng (P) qua điểm A và (P) vuông góc với đường thẳng a. GỌi giao của (P) với a là điểm I. Xét mặt cầu tâm O bán kính r = OA; mặt cầu này giao với mặt phẳng (P) theo đường tròn tâm I là hình chiếu vuông góc của O lên (P) và bán kính IA = r2 cố định
Cho mặt cầu tâm O, bán kính r. Gọi \(\left(\alpha\right)\) là mặt phẳng cách tâm O một khoảng h \(\left(0< h< r\right)\) và cắt mặt cầu theo đường tròn (C). Đường thẳng d đi qua một điểm A cố định trên (C) và vuông góc với mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) cắt mặt cầu tại một điểm B. Gọi CD là một đường kính di động của (C)
a) Chứng minh các tổng \(AD^2+BC^2\) và \(AC^2+BD^2\) có giá trị không đổi
b) Với vị trí nào của CD thì diện tích tam giác BCD lớn nhất
c) Tìm tập hợp các điểm H, hình chiếu vuông góc của B trên CD khi CD chuyển động trên đường tròn (C)
Cho hai đường thẳng chéo nhau \(\Delta\) và \(\Delta\)' có AA' là đoạn vuông góc chung, trong đó \(A\in\Delta\) và \(A'\in\Delta'\). Gọi \(\left(\alpha\right)\) là mặt phẳng chứa AA' và vuông góc với \(\Delta'\) và cho viết AA'=a. Một đường thẳng thay đổi luôn luôn song song với mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) lần lượt cắt \(\Delta\) và \(\Delta\)' tại M và M'. Hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) là \(M_1\)
a) Xác định tâm O bán kính r của mặt cầu đi qua 5 điểm A, A', M, M', \(M_1\)
Tính diện tích của mặt cầu tâm O nói trên theo a, x = A'M' và góc \(\varphi=\left(\Delta,\Delta'\right)\)
b) Chứng minh rằng khi x thay đổi mặt cầu tâm O luôn luôn chứa một đường tròn cố định
Tìm tập hợp tâm các mặt cầu luôn luôn chứa một đường tròn cố định cho trước ?
Trong mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Trên đường thẳng \(Ax\) vuông góc \(\left(\alpha\right)\) ta lấy một điểm S tùy ý, dựng mặt phẳng \(\left(\beta\right)\) đi qua A và vuông góc với đường thẳng SC. Mặt phẳng \(\left(\beta\right)\) cắt SB, SC, SD lần lượt tại B', C' , C'.
a) Chứng minh rằng các điểm A, B, C, D, B', C', D' luôn luôn thuộc một mặt cầu cố định
b) Tính diện tích của mặt cầu đó và tính thể tích khối cầu được tạo thành
Cho hình cầu tâm O bán kính r. Lấy một điểm A trên mặt cầu và gọi \(\left(\alpha\right)\) là mặt phẳng đi qua A sao cho góc giữa OA và \(\left(\alpha\right)\) bằng \(30^0\)
a) Tính diện tích của thiết diện tạo bơi \(\left(\alpha\right)\) và hình cầu
b) Đường thẳng \(\Delta\) đi qua A vuông góc với mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) cắt mặt cầu tại B. Tính độ dài đoạn AB ?
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AA' = a; AB = b; AD = c
a) Hãy xác định tâm và bán kính của mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình hộp đó
b) Tính bán kính của đường tròn là giao tuyến của mặt phẳng (ABCD) với mặt cầu trên
Tìm tập hợp tất tả các điểm M trong không gian luôn luôn nhìn đoạn thẳng AB cố định dưới một góc vuông ?
Cho mặt cầu \(S\left(O;r\right)\) tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại I. Gọi M là một điểm nằm trên mặt cầu nhưng không phải là điểm đối xứng với I qua tâm O. Từ M ta kẻ hai tiếp tuyến của mặt cầu cắt (P) tại A và B.
Chứng minh rằng : \(\widehat{AMB}=\widehat{AIB}\) ?
Hình chóp S.ABC là hình chóp tam giác đều, có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng \(a\sqrt{2}\). Một mặt cầu đi qua đỉnh A và tiếp xúc với hai cạnh SB, SC tại trung điểm của mỗi cạnh
a) Chứng minh rằng mặt cầu đó đi qua trung điểm của AB và AC
b) Gọi giao điểm thứ hai của mặt cầu với đường thẳng SA là D. Tính độ dài của AD và SD
