Question

cho M là một điểm bất kì nằm trong hình vuông ABCD có cạnh bằng 1

a) Chứng minh rằng: MA²+MB²+MC²+MD²≥2

b)Xét điểm M nằm trên đường chéo AC, kẻ MN⊥AB tại N, Gọi O là trung điểm của AM. Chứng minh rằng CN²=2OB²

Answer 1

(H1) 2)

a)

ABCD là hình vuông có cạnh bằng 1

M là điểm bất kỳ nằm trong hình vuông ABCD (H1)

Chứng minh tương tự:

Do đó, suy ra: MA2 + MB2 + MC2 + MD2 1 + 1 = 2 (đpcm)

Đẳng thức xảy ra M là giao điểm của hai đường chéo AC và BD

b)Kẽ MH BC tại H (H2) MH = NB

ANM vuông cân ở N có O là trung điểm của cạnh huyền AM

MN2 = 2ON2 (1)

MHC vuông cân ở H MC2 = 2MH2 (2)

Từ (1) và (2) suy ra: (3)

Hai tam giác ONB và NMC có:

(vì cùng bằng 1350) và ( theo (3))

Suy ra ONB NMC (c-g-c) (4)

Từ (1) và (4) suy ra: NC2 = 2.OB2 (đpcm)