Violympic toán 9
Các câu hỏi tương tự
Cho P=\(\sqrt{a^2+a^2\left(a+1\right)^2+\left(a+1\right)^2}\) với a ∈ Z. Chứng minh P là một số tự nhiên.
25 tháng 3 2022 lúc 10:27
Cho đa thức \(f\left(x\right)=x^2+mx+n\) với \(m,n\in Z\). Chứng minh rằng tồn tại số nguyên k để \(f\left(k\right)=f\left(2021\right).f\left(2022\right)\)
1.Cho ba số dương a+b+c1.Chứng minh rằng:
sqrt{frac{a}{1-a}}+sqrt{frac{b}{1-b}}+sqrt{frac{c}{1-c}}2
2.Cho x,y,z là các số thực dương và thỏa mãn xy+yz+zxxyz.Chứng minh rằng:
frac{xy}{z^3left(1+xright)left(1+yright)}+frac{yz}{x^3+left(1+yright)left(1+zright)}+frac{zx}{y^2+left(1+zright)left(1+xright)}gefrac{1}{16}
3.Cho hai số thực dương a,b và thỏa mãn 2a +3b le4.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Qfrac{2002}{a}+frac{2017}{b}+2996a-5501b
4.Gỉai phương trình : left(x^2-4right)^3left(sqrt[3...
Đọc tiếp
1.Cho ba số dương a+b+c=1.Chứng minh rằng:
\(\sqrt{\frac{a}{1-a}}+\sqrt{\frac{b}{1-b}}+\sqrt{\frac{c}{1-c}}>2\)
2.Cho x,y,z là các số thực dương và thỏa mãn xy+yz+zx=xyz.Chứng minh rằng:
\(\frac{xy}{z^3\left(1+x\right)\left(1+y\right)}+\frac{yz}{x^3+\left(1+y\right)\left(1+z\right)}+\frac{zx}{y^2+\left(1+z\right)\left(1+x\right)}\)\(\ge\)\(\frac{1}{16}\)
3.Cho hai số thực dương a,b và thỏa mãn 2a +3b \(\le4\).Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Q=\(\frac{2002}{a}+\frac{2017}{b}+2996a-5501b\)
4.Gỉai phương trình : \(\left(x^2-4\right)^3=\left(\sqrt[3]{\left(x^2+4\right)^2}+4\right)^2\)
Với mọi a, b, c, x, y, z \(\in\) R, chứng minh : \(\sqrt{a^2+x^2}+\sqrt{b^2+y^2}+\sqrt{c^2+z^2}\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\left(x+y+z\right)^2}\)
1 . Cho a,b,cne0in Q và ab+c
CMR : sqrt{frac{1}{a^2}+frac{1}{b^2}+frac{1}{c^2}}in Q
2 . Cho ba số dương x,y,z thõa mãn điều kiện xy+yz+zx1 tính:
Axsqrt{frac{left(1+y^2right)left(1+z^2right)}{1+x^2}}+ysqrt{frac{left(1+z^2right)left(1+x^2right)}{1+y^2}}+zsqrt{frac{left(1+xright)^2left(1+y^2right)}{1+z^2}}
3 .
Từ điểm M nằm ngoài đường tròn vẽ tiếp tuyến MA tới đường tròn (O; R), ( A là tiếp điểm). Gọi E là trung điểm đoạn AM và hai điểm I, H lần lượt là hình chiếu của E và A trên đường t...
Đọc tiếp
1 . Cho \(a,b,c\ne0\in Q\) và \(a=b+c\)
CMR : \(\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}\in Q\)
2 . Cho ba số dương x,y,z thõa mãn điều kiện xy+yz+zx=1 tính:
\(A=x\sqrt{\frac{\left(1+y^2\right)\left(1+z^2\right)}{1+x^2}}+y\sqrt{\frac{\left(1+z^2\right)\left(1+x^2\right)}{1+y^2}}+z\sqrt{\frac{\left(1+x\right)^2\left(1+y^2\right)}{1+z^2}}\)
3 .
Từ điểm M nằm ngoài đường tròn vẽ tiếp tuyến MA tới đường tròn (O; R), ( A là tiếp điểm). Gọi E là trung điểm đoạn AM và hai điểm I, H lần lượt là hình chiếu của E và A trên đường thẳng OM. Qua M vẽ cát tuyến MBC tới đường tròn (O) sao cho MB < MC và tia MC nằm giữa hai tia MA, MO.
a) Chứng minh các hệ thức: MA2 = MB.MC; MA2 = MH.MO.
b) Chứng minh ∆MBH đồng dạng ∆MOC. Từ đó chứng minh tứ giác BCOH nội tiếp đường tròn.
c) Chứng minh . Vẽ tiếp tuyến IK tới đường tròn (O) với K là tiếp điểm. và ∆MKH vuông tại K.
d) Giả sử BC = 3BM và D là trung điểm đoạn MC. Chứng minh: MC tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp ∆ODH
1) Chứng minh rằng: 1+dfrac{1}{2sqrt{2}}+dfrac{1}{3sqrt{3}}+...+dfrac{1}{nsqrt{n}} 2sqrt{2}left(nin Nright)
2) Chứng minh rằng: dfrac{2}{3}+sqrt{n+1} 1+sqrt{2}+sqrt{3}+...+sqrt{n} dfrac{2}{3}left(n+1right)sqrt{n}
3) 2sqrt{n}-3 dfrac{1}{sqrt{2}}+dfrac{1}{sqrt{3}}+...+dfrac{1}{sqrt{n}} 2sqrt{n}-2
4) dfrac{sqrt{2}-sqrt{1}}{2+1}+dfrac{sqrt{3}-sqrt{2}}{3+2}+...+dfrac{sqrt{n+1}-sqrt{n}}{n+1+n} dfrac{1}{2}left(1-dfrac{1}{sqrt{n+1}}right)
Đọc tiếp
1) Chứng minh rằng: \(1+\dfrac{1}{2\sqrt{2}}+\dfrac{1}{3\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{n\sqrt{n}}< 2\sqrt{2}\left(n\in N\right)\)
2) Chứng minh rằng: \(\dfrac{2}{3}+\sqrt{n+1}< 1+\sqrt{2}+\sqrt{3}+...+\sqrt{n}< \dfrac{2}{3}\left(n+1\right)\sqrt{n}\)
3) \(2\sqrt{n}-3< \dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{n}}< 2\sqrt{n}-2\)
4) \(\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{2+1}+\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3+2}+...+\dfrac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n+1+n}< \dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
15 tháng 7 2019 lúc 21:13
Câu 1: Giải phương trình :
left(2sqrt{x+2}+sqrt{4x+1}right)left(2x+3+sqrt{4x^2-9x+2}right)7
Câu 2: Tìm x;yin Z biết 2yleft(2x^2+1right)-2xleft(2y^2+1right)+1x^3y^3
Câu 3: Cho a,b,c là các số hữu tỉ thỏa mãn frac{1}{a+bc}+frac{1}{b+ca}frac{1}{a+b}. Chứng minh frac{c-3}{c+1} là bình phương của một số hữu tỉ
Câu 4: Cho 3 số a,b,c thỏa mãn 0le ale ble cle1.
Tìm maxBleft(a+b+c+3right)left(frac{1}{a+1}+frac{1}{b+1}+frac{1}{c+1}right)
Đọc tiếp
Câu 1: Giải phương trình :
\(\left(2\sqrt{x+2}+\sqrt{4x+1}\right)\left(2x+3+\sqrt{4x^2-9x+2}\right)=7\)
Câu 2: Tìm \(x;y\in Z\) biết \(2y\left(2x^2+1\right)-2x\left(2y^2+1\right)+1=x^3y^3\)
Câu 3: Cho \(a,b,c\) là các số hữu tỉ thỏa mãn \(\frac{1}{a+bc}+\frac{1}{b+ca}=\frac{1}{a+b}\). Chứng minh \(\frac{c-3}{c+1}\) là bình phương của một số hữu tỉ
Câu 4: Cho 3 số \(a,b,c\) thỏa mãn \(0\le a\le b\le c\le1\).
Tìm \(maxB=\left(a+b+c+3\right)\left(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\right)\)
1) Cho a, b, c 0. CMR: a^2+b^2+c^2+abc+5ge3left(a+b+cright)
2) Cho a, b, c 0, đặt xa+frac{1}{b}, yb+frac{1}{c}, zc+frac{1}{a}. Chứng minh rằng: xy+yz+zxge2left(x+y+zright)
3) Cho các số dương x, y, z thỏa mãn xyz 1. Chứng minh rằng: x^2+y^2+z^2+x+y+zge2left(xy+yz+zxright)
Đọc tiếp
1) Cho a, b, c > 0. CMR: \(a^2+b^2+c^2+abc+5\ge3\left(a+b+c\right)\)
2) Cho a, b, c > 0, đặt \(x=a+\frac{1}{b}\), \(y=b+\frac{1}{c}\), \(z=c+\frac{1}{a}\). Chứng minh rằng: \(xy+yz+zx\ge2\left(x+y+z\right)\)
3) Cho các số dương x, y, z thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng: \(x^2+y^2+z^2+x+y+z\ge2\left(xy+yz+zx\right)\)
1. Cho a,b,c,d là các số dương. Chứng minh rằng: sqrt{ab}+sqrt{cd}lesqrt{left(a+dright)left(b+cright)}
2. Cho (x;y;z) và (a;b;c) là các số dương. Chứng minh rằng: sqrt[3]{abc}+sqrt[3]{xyz}lesqrt[3]{left(a+xright)left(b+yright)left(c+zright)}
3. Cho c0 và a,bge c. Chứng minh rằng: sqrt{cleft(a-cright)}+sqrt{cleft(b-cright)}lesqrt{ab}
Đọc tiếp
1. Cho a,b,c,d là các số dương. Chứng minh rằng: \(\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\le\sqrt{\left(a+d\right)\left(b+c\right)}\)
2. Cho (x;y;z) và (a;b;c) là các số dương. Chứng minh rằng: \(\sqrt[3]{abc}+\sqrt[3]{xyz}\le\sqrt[3]{\left(a+x\right)\left(b+y\right)\left(c+z\right)}\)
3. Cho \(c>0\) và \(a,b\ge c\). Chứng minh rằng: \(\sqrt{c\left(a-c\right)}+\sqrt{c\left(b-c\right)}\le\sqrt{ab}\)