Question

Cho P=\(\sqrt{a^2+a^2\left(a+1\right)^2+\left(a+1\right)^2}\) với a ∈ Z. Chứng minh P là một số tự nhiên.

Answer 1

Ta có :

\(P=\sqrt{a^2+a^2\left(a+1\right)^2+\left(a+1\right)^2}\)

\(=\sqrt{a^2\left(a+1\right)^2+a^2+\left(a^2+2a+1\right)}\)

\(=\sqrt{\left[a\left(a+1\right)\right]^2+2a\left(a+1\right)+1}\)

\(=\sqrt{\left[a\left(a+1\right)+1\right]^2}\)

\(=a^2+a+1\)

Lại có :

\(a^2+a+1=a^2+2.\frac{1}{2}a+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\left(a+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\)

Và a nguyên nên a² + a + 1 nguyên

⇒ P là một số tự nhiên