Question

Cho \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=1\\x^2+y^2+z^2=1\\x^3+y^3+z^3=1\end{matrix}\right.\)

Tính A= x+y²+z³

Answer 1

Lời giải:

Đặt các PT lần lượt là PT(1); PT(2) và PT(3)

Từ PT(2) \(\Rightarrow x^2,y^2,z^2\leq 1\Rightarrow x,y,z\leq 1\)

Lấy PT(3) trừ PT(2) thu được:

\(x^2(x-1)+y^2(y-1)+z^2(z-1)=0\)

Vì $x^2\geq 0, \forall x$; $x-1\leq 0$ với mọi $x\leq 1$ nên $x^2(x-1)\leq 0$

Tương tự: $y^2(y-1)\leq 0; z^2(z-1)\leq 0$

Khi đó, để tổng $x^2(x-1)+y^2(y-1)+z^2(z-1)=0$ thì $x^2(x-1)=y^2(y-1)=z^2(z-1)=0$

$\Rightarrow x,y,z\in\left\{0;1\right\}$

Kết hợp với PT(1) suy ra $(x,y,z)=(1,0,0)$ và hoán vị

Do đó:

$A=x+y^2+z^3=1$

Answer 2

Lời giải:

Đặt các PT lần lượt là PT(1); PT(2) và PT(3)

Từ PT(2) \(\Rightarrow x^2,y^2,z^2\leq 1\Rightarrow x,y,z\leq 1\)

Lấy PT(3) trừ PT(2) thu được:

\(x^2(x-1)+y^2(y-1)+z^2(z-1)=0\)

Vì $x^2\geq 0, \forall x$; $x-1\leq 0$ với mọi $x\leq 1$ nên $x^2(x-1)\leq 0$

Tương tự: $y^2(y-1)\leq 0; z^2(z-1)\leq 0$

Khi đó, để tổng $x^2(x-1)+y^2(y-1)+z^2(z-1)=0$ thì $x^2(x-1)=y^2(y-1)=z^2(z-1)=0$

$\Rightarrow x,y,z\in\left\{0;1\right\}

Kết hợp với PT(1) suy ra $(x,y,z)=(1,0,0)$ và hoán vị

Do đó:

$A=x+y^2+z^3=1$