Đặt S=a+b; P=ab
\(\left(a-b\right)^2\ge0\forall a,b\)
=>\(\left(a+b\right)^2-4ab\ge0\forall a,b\)
=>\(\left(a+b\right)^2\ge4ab\forall a,b\)
=>\(S^2\ge4P\)
\(\left(a+b\right)^3+4ab\ge2\)
=>\(S^3+4P\ge2\)
=>\(P\ge\frac{2 - S^3}{4}\)
Dấu '=' xảy ra khi a=b
\(a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = S^2 - 2P\)
\(a^4 + b^4 + a^2b^2 = (a^2 + b^2)^2 - a^2b^2 = (S^2 - 2P)^2 - P^2 = S^4 - 4S^2P + 3P^2\)
Do đó; \(A = 3(S^4 - 4S^2P + 3P^2) - 2(S^2 - 2P) + 1\)
\(=9P^2+(4-12S^2)P+(3S^4-2S^2+1)\)
Vì A nhỏ nhất khi a=b nên ta có:
Đặt a=b=t
\(\left(a+b\right)^3+4ab\ge2\)
=>\(\left(t+t\right)^3+4\cdot t\cdot t\ge2\)
=>\(8t^3+4t^2-2\ge0\)
=>\(4t^3+2t^2-1\ge0\)
\(A=3\left(a^4+b^4+a^2b^2\right)-2\left(a^2+b^2\right)+1\)
\(=3(2t^4+t^4)-2(2t^2)+1=9t^4-4t^2+1\)
Đặt \(4t^3 + 2t^2 - 1 \ge 0\)
=>t>=1/2
Đặt \(f(t) = 9t^4 - 4t^2 + 1\)
=>\(f'(t) = 36t^3 - 8t = 4t(9t^2 - 2)\)
t>=1/2
=>\(t^2\ge\frac14\)
=>\(9t^2\ge\frac94\)
=>\(9t^2-2\ge\frac14>0\)
=>f'(t)>0∀t
=>hàm số f(t) đồng biến trên nửa khoảng [1/2;+∞)
Do đó: f(t) đạt GTNN khi t=1/2
\(A_{\min}=f\left(\frac{1}{2}\right)=9\left(\frac{1}{2}\right)^4-4\left(\frac{1}{2}\right)^2+1=\frac{9}{16}-1+1=\frac{9}{16}\)
