Violympic toán 8

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Big City Boy

Cho: \(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2\) và a,b, c khác 0. CMR: \(\dfrac{1}{a^3}+\dfrac{1}{b^3}+\dfrac{1}{c^3}=\dfrac{3}{abc}\)

Thu Thao
19 tháng 12 2020 lúc 21:44

Từ đkđb

\(\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ac\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{ab+bc+ac}{abc}=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=-\dfrac{1}{c}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a^3}+\dfrac{1}{b^3}+\dfrac{3}{ab}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)=-\dfrac{1}{c^3}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a^3}+\dfrac{1}{b^3}+\dfrac{1}{c^3}=\dfrac{3}{abc}\)

Thịnh Gia Vân
19 tháng 12 2020 lúc 21:46

Hớ hớ bài này mình cũng làm rồi.

Ta có: (a+b+c)2=a2+b2+c2

<=> a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=a2+b2+c2

<=>2(ab+bc+ca)=0

<=>ab+bc+ca=0

\(\Leftrightarrow\dfrac{ab+bc+ca}{abc}=0\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=0\)

=>\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=-\dfrac{1}{c}\Rightarrow\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)^3=\left(-\dfrac{1}{c}\right)^3\)

=> \(\dfrac{1}{a^3}+\dfrac{3}{a^2b}+\dfrac{3}{ab^2}+\dfrac{1}{b^3}=-\dfrac{1}{c^3}\)

=>\(\dfrac{1}{a^3}+\dfrac{1}{b^3}+\dfrac{1}{c^3}=-\dfrac{3}{ab}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)=-\dfrac{3}{ab}.\left(-\dfrac{1}{c}\right)=\dfrac{3}{abc}\)

=> Đpcm.


Các câu hỏi tương tự
Big City Boy
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
 Mashiro Shiina
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Hjjkj Fhjgg
Xem chi tiết
Trần Hoàng Đạt
Xem chi tiết
Hày Cưi
Xem chi tiết
Vũ Phương Thảo
Xem chi tiết
Phú Thái
Xem chi tiết