Violympic toán 8

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Vũ Phương Thảo

Cho a,b, c>0 thỏa mãn a+b+c=3.

CMR: \(\dfrac{a^3}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}+\dfrac{b^3}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}+\dfrac{c^3}{\left(c+1\right)\left(a+1\right)}>=\dfrac{3}{4}\)

Akai Haruma
10 tháng 3 2018 lúc 16:51

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM cho các số dương ta có:

\(\frac{a^3}{(a+1)(b+1)}+\frac{a+1}{8}+\frac{b+1}{8}\geq 3\sqrt[3]{\frac{a^3}{64}}=\frac{3a}{4}\)

\(\frac{b^3}{(b+1)(c+1)}+\frac{b+1}{8}+\frac{c+1}{8}\geq 3\sqrt[3]{\frac{b^3}{64}}=\frac{3b}{4}\)

\(\frac{c^3}{(c+1)(a+1)}+\frac{c+1}{8}+\frac{a+1}{8}\geq 3\sqrt[3]{\frac{c^3}{64}}=\frac{3c}{4}\)

Cộng theo vế:

\(\Rightarrow \frac{a^3}{(a+1)(b+1)}+\frac{b^3}{(b+1)(c+1)}+\frac{c^3}{(c+1)(a+1)}+\frac{a+b+c+3}{4}\geq \frac{3}{4}(a+b+c)\)

\(\Leftrightarrow \frac{a^3}{(a+1)(b+1)}+\frac{b^3}{(b+1)(c+1)}+\frac{c^3}{(c+1)(a+1)}+\frac{3}{2}\geq \frac{9}{4}\)

\(\Leftrightarrow \frac{a^3}{(a+1)(b+1)}+\frac{b^3}{(b+1)(c+1)}+\frac{c^3}{(c+1)(a+1)}\geq \frac{3}{4}\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)


Các câu hỏi tương tự
Kamato Heiji
Xem chi tiết
Gallavich
Xem chi tiết
 Mashiro Shiina
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Gallavich
Xem chi tiết
Nguyễn Thanh Hiền
Xem chi tiết
Trịnh Phương Khanh
Xem chi tiết
 ♫ Love Music  ♫
Xem chi tiết
nguyen thi thu
Xem chi tiết