Violympic toán 8

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
THU DINH

cho hinh vuong ABCD. Qua A ve hai duong thang vuong goc voi nhau lan luot cat BC tai P va R, cat Cd tai Q va S.

a, chung minh tam giac AQR va tam giac APS la cac tam giac can

b, QR cat PS tai H; M,N la trung diem cua QR va PS. chung minh tu giac AMHN la hinh chu nhat

c, chung minh P la truc tam

d, chung minh MN la duong trung truc cua AC

e, chung minh bon diem M, B,N,D thang han

Nguyễn Thành Trương
9 tháng 2 2019 lúc 20:07

Hỏi đáp Toán

a) Ta có: ^BAR+^DAR=^BAD=900 (1)

^DAQ+^DAR=900 (Do PQ vuông góc AR) (2)

Từ (1) và (2) => ^BAR=^DAQ

Xét \(\Delta\)ABR và \(\Delta\)ADQ:

^ABR=^ADQ=900

AB=AD => \(\Delta\)ABR=\(\Delta\)ADQ (g.c.g)

^BAR=^DAQ

=> AR=AQ (2 cạnh tương ứng) . Xét tam giác AQR:

AR=AQ, ^QAR=900 => \(\Delta\)AQR là tam giác vuông cân tại A.

Tương tự: \(\Delta\)ADS=\(\Delta\)ABP (g.c.g)

=> AS=AP, ^PAS=900 => \(\Delta\)APS vuông cân tại A.

b) \(\Delta\)AQR vuông cân tại A, M là trung điểm của QR => AM vuông góc QR (3)

Tương tự: AN vuông góc với PS (4)

Lại có: AM là phân giác của ^QAR (Do \(\Delta\)AQR...) => ^MAR=450

AN là phân giác của ^PAS => ^SAN=450

=> ^MAR+^SAN=^MAN=900 (5)

Từ (3), (4) và (5) => Tứ giác AMHN là hình chữ nhật (đpcm)

c) Vì tứ giác AMHN là hcn => ^MHN=900 => MH vuông góc với PS hay QH vuông góc với PS

Xét \(\Delta\)SQR: PQ vuông góc RS tại A, PS vuông góc QR tại H

=> P là trực tâm của tam giác SQR (đpcm).

d) Ta thấy \(\Delta\)PCS vuông tại C (PC vuông góc QS), N là trung điểm của PS => CN=PN=SN.

Lại có: Tam giác APS vuông cân tại A, N là trung điểm PS => AN=PN=SN

=> CN=AN => N nằm trên đường trung trực của AC (6)

Tương tự: Tam giác QCR vuông tại C, M là trung điểm QR => CM=QM=RM

Tam giác AQR vuông cân A, M là trung điểm QR => AM=QM=RM

=> CM=AM => M nằm trên đường trung trực của AC (7)

Từ (6) và (7) => MN là trung trực của AC (đpcm). (8)

e) Xét hình vuông ABCD: 2 đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại trung điểm mỗi đường

=> BD là trung trực của AC (9)

Từ (8) và (9) => M;B;N;D thẳng hàng (đpcm).


Các câu hỏi tương tự
Lil Học Giỏi
Xem chi tiết
Lil Học Giỏi
Xem chi tiết
Lil Học Giỏi
Xem chi tiết
Hương Thủy Oanh
Xem chi tiết
Xuân Lộc
Xem chi tiết
phạm ngọc mai
Xem chi tiết
Cao Thu Anh
Xem chi tiết
Xuân Lộc
Xem chi tiết
Xuan Xuannajimex
Xem chi tiết