Cho hình tam giác ABC (AB < AC) có ba góc nhọn. Đường tròn tâm O đường kính BC cắt các cạnh AC, AB lần lượt tại D, E. Gọi H là giao điểm của BD và CE: F là giao điểm của AH và BC.
a) Chứng minh: AF \(\perp\) BC và \(\overline{AFD}\) = \(\overline{ACE}\) .
b) Gọi M là trung điểm của AH. Chứng minh: MD \(\perp\) OD và 5 điểm M, D, O, F, E cùng thuộc một đường tròn.
c) Gọi K là giao điểm của AH và DE. Chứng minh MD2 = MK.MF và K là trực tâm của tam giác MBC.
d) Chứng minh: \(\frac{2}{FK}\) = \(\frac{1}{FH}\) + \(\frac{1}{FA}\) .
a) Ta có góc BEC = góc BDC = 90o (góc nội tiếp chắn giữa đường tròn)
Suy ra BD \(\perp\) AC và CE \(\perp\) AB. Mà BD cắt CE tại H là trực tâm \(\Delta\) ABC.
Suy ra AH \(\perp\) BC
Vì AH \(\perp\) BC, BD \(\perp\) AC nên góc HFC = góc HDC = 90o.
Suy ra góc HFC + góc HDC = 180o
Suy ra HFCD là tứ giác nội tiếp
\(\Rightarrow\) góc HDC = góc HCD.
b) Vì M là trung điểm cạnh huyền của hình tam giác vuông ADH nên MD = MA = MH. Tương tự ta có ME = MA = MH
Suy ra MD = ME
Mà OD = OE nên \(\Delta\) OEM = \(\Delta\) ODM \(\Rightarrow\) góc MOE = góc MOD = \(\frac{1}{2}\) góc EOD
Theo qua hệ giữa góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung, ta có góc ECD = \(\frac{1}{2}\) góc EOD
Theo ý a) ta có góc HFD = góc HCD = góc ECD
\(\Rightarrow\) góc MOD = góc HFD hay góc MOD = góc MFD
Suy ra tứ giác MFOD là tứ giác nội tiếp
\(\Rightarrow\) góc MDO = 180o - góc MPO = 90o \(\Rightarrow\) MD \(\perp\) DO
Chứng minh tương tự ta có MEFO là tứ giác nội tiếp
Suy ra 5 điểm M, E, F, O, D cùng thộc 1 đường tròn.
c) Gọi I là giao điểm thứ hai của MC với đường tròn
Ta có góc MDE = góc DCE hay góc MDK = góc HCD
Mà góc HCD = góc HFD \(\Rightarrow\) góc MDK = góc HFD hay góc MDK = góc MFD
\(\Rightarrow\) \(\Delta\) MDK ~ \(\Delta\) MFD \(\Rightarrow\) \(\frac{MD}{MF}\) = \(\frac{MK}{MD}\) \(\Rightarrow\) MD2 = MK.MF
Ta có góc MDI = góc MCD
\(\Rightarrow\) \(\Delta\) MDI ~ \(\Delta\) MCD \(\Rightarrow\) \(\frac{MD}{MC}\) = \(\frac{MI}{MD}\) \(\Rightarrow\) MD2 = MI.MC
\(\Rightarrow\) MI.MC = MK.MF = MD2 \(\Rightarrow\) \(\frac{MI}{MF}\) = \(\frac{MK}{MC}\)
Xét \(\Delta\) MKI và \(\Delta\) MCF có \(\begin{cases}chungKMI\\\frac{MI}{MF}=\frac{MK}{MC}\end{cases}\) \(\Rightarrow\) \(\Delta\) MKI ~ \(\Delta\) MCF
\(\Rightarrow\) góc MIK = góc MFC = 90o \(\Rightarrow\) KI \(\perp\) MC
Mà góc BIC = 90o nên BI \(\perp\) MC
Suy ra B, K, I thẳng hàng \(\Rightarrow\) BK \(\perp\) MC
Mà MK \(\perp\) BC nên K là trực tâm \(\Delta\) MBC.
d) Vì MA = MH nên
FA.FH = (FM + MA)(FM - MH) = (FA + MA)(FM - MA) = FM2 - MA2
Vì MD2 = MK.MF nên FK.FM = (FM - MK).FM = FM2 - MK.MF = FM2 - MD2
Mà MD = MA \(\Rightarrow\) FA.FH = FK.FM
\(\Rightarrow\) \(\frac{2}{FK}\) = \(\frac{2FM}{FA.FH}\) = \(\frac{\left(FM+MA\right)+\left(FM-MH\right)}{FA.FH}\) = \(\frac{FA+FH}{FA.FH}\) = \(\frac{1}{FA}\) + \(\frac{1}{FH}\) .
Cho mình hỏi bạn có hình vẽ chưa???????????
