Theo công thức đường trung tuyến:
\(EF^2=\dfrac{EB^2+ED^2}{2}-\dfrac{BD^2}{4}\)
\(=\dfrac{\dfrac{AB^2+BC^2}{2}-\dfrac{AC^2}{4}+\dfrac{CD^2+DA^2}{2}-\dfrac{AC^2}{4}}{2}-\dfrac{BD^2}{4}\)
\(=\dfrac{AB^2+BC^2+CD^2+DA^2}{4}-\dfrac{AC^2}{4}-\dfrac{BD^2}{4}\)
\(\Rightarrow4EF^2=AB^2+BC^2+CD^2+DA^2-AC^2-BD^2\)
\(\Rightarrow AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=AC^2+BD^2+4EF^2\)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) . Gọi E là giao điểm của 2 đường chéo ; Gọi A' , B' , C' , D' là hình chiếu của E trên AB , BC, CD , DA. Gọi M là giao điểm của A'B' và C'D'. Chứng minh A , E , M thẳng hàng
Cho hình tam giác ABC (AB < AC) có ba góc nhọn. Đường tròn tâm O đường kính BC cắt các cạnh AC, AB lần lượt tại D, E. Gọi H là giao điểm của BD và CE: F là giao điểm của AH và BC.
a) Chứng minh: AF \(\perp\) BC và \(\overline{AFD}\) = \(\overline{ACE}\) .
b) Gọi M là trung điểm của AH. Chứng minh: MD \(\perp\) OD và 5 điểm M, D, O, F, E cùng thuộc một đường tròn.
c) Gọi K là giao điểm của AH và DE. Chứng minh MD2 = MK.MF và K là trực tâm của tam giác MBC.
d) Chứng minh: \(\frac{2}{FK}\) = \(\frac{1}{FH}\) + \(\frac{1}{FA}\) .
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) các điểm M N lần lượt là trung điểm cạnh BC AC tia MN cắt (O) tại D . Hãy so sánh BC/AD và AC/BD +AB/CD . Mình đang cần gấp(thpt chuyên long an)
Cho \(a,b,c,d\in[0;1]\)
CMR: \(\frac{a}{bc+cd+db+1}+\frac{b}{cd+da+ac+1}+\frac{c}{da+ab+bd+1}+\frac{d}{ab+bc+ca+1}\le\frac{3}{4}+\frac{1}{4abcd}\)
Cho 4 số thực a, b, c, d thỏa mãn a2+b2=1 và c+d=3.
Chứng minh rằng ac+bd+cd <= \(\dfrac{9+6\sqrt{2}}{4}\)
Cho các số thực a,b,c,d thỏa mãn: a2 + b2 + c2 + d2 = 1.
Tìm Min và Max của: P = ab + bc + ca + ad + bd + 3cd
Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác chứng minh :
ab + bc + ca <= a2 +b2 +c2<= 2(ab+bc+ca)
Cho các số dương ạ,b, b thoả mãn
a^2+b^2+c^2 +2=(abc)^2
Cmr abc.( a+b+c )>=2(ab +bc + ac)
Cho a,b,c>0 sao cho ab+bc+ac=3. CMR
1/(a^2+b^2+2016)+1/(b^2+c^2+2016)+1/(c^2+a^2+2016) >= 3/2018
