Question

Cho hình chữ nhật ABCD có M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình thoi.

Answer 1

 

Áp dụng định lý Pytago: `QM = sqrt(AQ^2 + AM^2) = sqrt(((AB)/2)^2 + ((AD)/2)^2).`

`MN = sqrt(BM^2 + NB^2) = sqrt(((AB)/2)^2 + ((BC)/2)^2) = sqrt(((AB)/2)^2 + ((AD)/2)^2)`.

Chứng minh tương tự cho `NP, QP` ta thấy `QM = MN = NP = QP`.

Vậy tứ giác MNPQ là hình thoi.

Answer 2

Vì ABCD là hình chữ nhật nên AB = CD; AD = BC

Vì M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD. DA nên:

AQ = BN = CN = DQ

AM = BM = CP = DP

Xét 4 tam giác AQM, BNM, CNP. DQP có:

AQ = BN = CN = DQ

AM = BM = CP = DP

Suy ra:

\(\begin{array}{l}\Delta AQM = \Delta BNM = \Delta CNP = \Delta DQP\\ \Rightarrow QM = MN = NP = QP\end{array}\)

Vậy tứ giác MNPQ có QM = MN = NP = QP nên tứ giác MNPQ là hình thoi.