Question

Cho hình thoi ABCD và hình bình hành BCMD. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh:

a) \(O{\rm{D}} = \frac{1}{2}CM\) và tam giác ACM là tam giác vuông.

b) Ba điểm A, D, M thẳng hàng.

c) Tam giác DCM là tam giác cân

Answer 1

a) Vì BCMD là hình bình hành

Suy ra: BD = CM (1)

Mà ABCD là hình thoi

O là giao điểm của AC và BD

\( \Rightarrow O{\rm{D}} = \frac{1}{2}B{\rm{D}}(2)\)

Từ (1) và (2) suy ra: \(O{\rm{D}} = \frac{1}{2}CM\)

Vì BCMD là hình bình hành nên BD // CM (3)

Vì ABCD là hình thoi nên \(B{\rm{D}} \bot AC(4)\)

Từ (3), (4) suy ra: \(AC \bot CM\)

Suy ra: tam giác ACM là tam giác vuông tại C

b) ta có: AD // BC (vì ABCD là hình thoi)

DM // BC (vì DBCM là hình bình hành)

Suy ra A, D, M thẳng hàng

c) Ta có:BC = DC (vì ABCD là hình thoi)

DM = BC (vì DBCM là hình bình hành)

Suy ra: DM = DC

Suy ra tam giác DCM là tam giác cân tại D