Question

Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông có cạnh 2a. Cạnh SA=a và vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm của CD. Tính cos α với α là góc tạo bởi 2 đường thắng SB, AM.

Answer 1

Bạn vẽ hình giúp mình nha ^^

Xét (ABCD), kẻ \(MH\perp AB\left(H\in AB\right)\)

Xét (SAB), kẻ HF//SB(\(F\in SA\))

Có: \(\left\{{}\begin{matrix}MH\perp AB\\MH\perp SA\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow MH\perp\left(SAB\right)\)\(\Rightarrow MH\perp HF\)

Ta có: \(\alpha=\left(\stackrel\frown{SB,AM}\right)=\left(\stackrel\frown{HF,MH}\right)=arccos\left(\dfrac{HA}{HF}\right)\)

Xét \(\Delta AHF\) vuông tại A có: \(HF^2=HA^2+AF^2=a^2+\left(\dfrac{a}{2}\right)^2=\dfrac{5}{4}a^2\Rightarrow HF=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}\)

\(\Rightarrow\alpha=arccos\left(\dfrac{HA}{HF}\right)=arccos\left(\dfrac{2a}{a\sqrt{5}}\right)\approx26,57^o\) \(\Rightarrow cos\alpha=\dfrac{HA}{HF}=\dfrac{2a}{a\sqrt{5}}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}\)