Question

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và A=60 . Các cạnh SA, SB và SD bằng \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

a) Chứng minh rằng: ( SAC )⊥( ABCD) .

b) Gọi \(\varphi\) là góc giữa hai mặt phẳng ( SAB) và (ABCD) . Tính cos \(\varphi\) .

Answer 1

Gọi H là hình chiếu của S lên (ABCD)

Do \(SA=SB=SD\Rightarrow HA=HB=HD\)

\(\Rightarrow H\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD

Mặt khác \(\widehat{A}=60^0\Rightarrow\Delta ABD\) đều \(\Rightarrow H\in AC\)

\(\left\{{}\begin{matrix}SH\perp\left(ABCD\right)\\SH\in\left(SAC\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(SAC\right)\perp\left(ABCD\right)\)

b/ Gọi M là trung điểm AB \(\Rightarrow MH\perp AB\) (do H là tâm tam giác đều)

\(\Rightarrow\widehat{SMH}\) là góc giữa (SAB) và (ABCD)

\(DM=\frac{AB\sqrt{3}}{2}\Rightarrow HM=\frac{1}{3}DM=\frac{AB\sqrt{3}}{6}=\frac{a\sqrt{3}}{6}\)

\(SM=\sqrt{SA^2-AM^2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)

\(\Rightarrow cos\varphi=\frac{HM}{SM}=\frac{\sqrt{6}}{6}\)