Question

Cho hình bình hành ABCD đường chéo lớn AC. Gọi E, F , lần lượt là hình chiếu của C trên AB và AD ..Cmr : AD . AF + AB . AE = AC²

Answer 1

Tự vẽ hình!!

Kẻ BH vuông AC

Xét tam giác AHB và tam giác AEC có:

\(\widehat{BAH}\) chung

\(\widehat{AHB}=\widehat{AEC}\left(=90\right)\)

=> tam giác AHB đồng dạng AEC(g.g)

\(\dfrac{AH}{AE}=\dfrac{AB}{AC}\)=> AH.AC=AB.AE(1)

Xét tam giác CBH và ACF

\(\widehat{BHC}=\widehat{CFA}\left(=90\right)\)

\(\widehat{BCH}=\widehat{CAD}\)( 2 góc sole)

=> tam giác CBH đồng dạng ACF(g.g)

=>\(\dfrac{CH}{AF}=\dfrac{BC}{AC}\)=>CH.AC=AF.BC

mà BC=AD(t/c hình bình hành)

=>CH.AC=AF.AD(2)

Cộng hai về của (1) và (2) ta được:

AH.AC+CH.AC=AB.AE+AF.AD

=>AC(AH+CH)=AB.AE+AD.AF

=>\(AC^2=\text{AB.AE+AD.AF}\)(đccm)