Bài 5c.: Tương giao hai đồ thị. Biện luận số nghiệm phương trình.

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Hữu Tín

Cho hàm số : \(y=\frac{2m-x}{x+m}\left(C_m\right)\)

a) Xét tam giác MNP có các đỉnh thuộc C. Chứng minh rằng trực tâm tam giác MNP cũng thuộc C

b) Cho A(0;1) và I là tâm đối xứng. Tìm M để trên \(\left(C_m\right)\) tồn tại điểm B sao cho tam giác ABI vuông cân tại A

Thiên An
19 tháng 4 2016 lúc 13:03

a) Ta có \(\left(C\right):y=\frac{-x+2}{x+1}=-1+\frac{3}{x+1}\)

Dời hệ trục Oxy về hệ trục XIY với công thức dời trục \(\begin{cases}x=X-1\\y=Y-1\end{cases}\)

Ta có phương trình hệ trục tọa độ mới \(Y=\frac{3}{X}\)

Trong hệ trục tọa độ mới, ta giả sử \(M\left(m;\frac{3}{m}\right);N\left(n;\frac{3}{n}\right);P\left(p;\frac{3}{p}\right)\)

Gọi \(H\left(x;y\right)\) là trực tâm của tam giác MNP, ta có : \(\begin{cases}\overrightarrow{MH}.\overrightarrow{NP}=0\\\overrightarrow{NH}.\overrightarrow{MP}=0\end{cases}\) (a)

Mà \(\overrightarrow{MH}=\left(x-m;y-\frac{3}{m}\right);\overrightarrow{NP}=\left(p-n;\frac{3}{p}-\frac{3}{n}\right);\overrightarrow{NH}=\left(x-n;y-\frac{3}{n}\right);\overrightarrow{MP}=\left(p-m;\frac{3}{p}-\frac{3}{m}\right)\)

Nên (a) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x-m-\frac{3}{np}\left(y-\frac{3}{m}\right)=0\\x-n-\frac{3}{mp}\left(y-\frac{3}{n}\right)=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x-\frac{3}{np}y-m+\frac{9}{mnp}=0\\x-\frac{3}{mp}y-n+\frac{9}{mnp}=0\end{cases}\)

             \(\Leftrightarrow\begin{cases}x=-\frac{9}{mnp}\\y=-\frac{mnp}{3}\end{cases}\)

Suy ra \(H\left(-\frac{9}{mnp};-\frac{mnp}{3}\right)\)

Vì \(y_H=\frac{3}{x_H}\) nên \(H\in\left(C\right)\)\(\Rightarrow\) điều phải chứng minh

Thiên An
19 tháng 4 2016 lúc 13:40

b) \(B\left(b;\frac{2m-b}{b+m}\right)\in\left(C_m\right)\Rightarrow\overrightarrow{AB}=\left(b;\frac{m-2b}{m+b}\right)\)

Ta có : \(I\left(-m;-1\right)\Rightarrow\overrightarrow{AI}=\left(-m;-2\right)\)

Tam giác ABI vuông cân tại A \(\Leftrightarrow\begin{cases}\overrightarrow{AB.}\overrightarrow{AI}=0\\AB^2=AI^2\end{cases}\)

\(\begin{cases}mb+2\frac{m-2b}{m+b}=0\\m^2+4=b^2+\left(\frac{m-2b}{m+b}\right)^2\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}\frac{m-2b}{m+b}=-\frac{bm}{2}\left(1\right)\\m^2+4=b^2+\frac{m^2b^2}{4}\left(2\right)\end{cases}\)

\(\left(2\right)\Leftrightarrow m^2\left(b^2-4\right)+4\left(b^2-4\right)=0\Leftrightarrow\left(b^2-4\right)\left(m^2+4\right)=0\)

     \(\Leftrightarrow b^2=4\Leftrightarrow b=\pm2\)

* b = 2 thay vào (1) ta được \(\frac{m-4}{m+2}=-m\Leftrightarrow m^2+3m-4=0\Leftrightarrow m=1;m=-4\)

 b = - 2 thay vào (1) ta được \(\frac{m+4}{m-2}=m\Leftrightarrow m^2-3m-4=0\Leftrightarrow m=-1;m=4\)

Vậy \(m=\pm1;m=\pm4\) là những giá trị cần tìm

 

 

Các câu hỏi tương tự
Bạch Hà An
Xem chi tiết
Nguyễn Hồ Kim Trang
Xem chi tiết
Nguyễn Lê Đức Nhân
Xem chi tiết
Lê Tiến Đạt
Xem chi tiết
Phạm Đức Dâng
Xem chi tiết
Tạ Tương Thái Tài
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Quỳnh Như
Xem chi tiết
Vũ Trịnh Hoài Nam
Xem chi tiết
Phan thu trang
Xem chi tiết