Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Hồng Lam

Cho hàm số y = \(\frac{ksinx+1}{cosx+2}\) . Tìm k để giá trị nhỏ nhất của hàm số nhỏ hơn -1

Akai Haruma
6 tháng 7 2019 lúc 23:21

Lời giải:

Ta có:

\(y=\frac{k\sin x+1}{\cos x+2}\Rightarrow y\cos x+2y=k\sin x+1\)

\(\Leftrightarrow 2y-1=k\sin x-y\cos x\)

Theo BĐT Bunhiacopxky:

\((2y-1)^2=(k\sin x-y\cos x)^2\leq (k^2+y^2)(\sin ^2x+\cos ^2x)=k^2+y^2\)

\(\Leftrightarrow 4y^2-4y+1\leq k^2+y^2\)

\(\Leftrightarrow 3y^2-4y+1\leq k^2\)

\(\Leftrightarrow 3(y-\frac{2}{3})^2\leq k^2+\frac{1}{3}\)

\(\Leftrightarrow \frac{2}{3}-\sqrt{\frac{3k^2+1}{9}}\leq y\leq \frac{2}{3}+\sqrt{\frac{3k^2+1}{9}}\)

\(\Rightarrow y_{\min}=\frac{2}{3}-\sqrt{\frac{3k^2+1}{9}}\)

Để \(y_{\min}< -1\Leftrightarrow \sqrt{\frac{3k^2+1}{9}}>\frac{5}{3}\Leftrightarrow k^2>8\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} k>2\sqrt{2}\\ k<-2\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)


Các câu hỏi tương tự
cường hoàng
Xem chi tiết
Ngô Chí Thành
Xem chi tiết
Rhider
Xem chi tiết
Nguyễn Sinh Nguyên
Xem chi tiết
Nguyễn Kiều Anh
Xem chi tiết
Trâm Bảo
Xem chi tiết
erosennin
Xem chi tiết
Võ Thị Hoài Linh
Xem chi tiết
Hồng Lam
Xem chi tiết