Question

Cho hàm số y= - x - 5 có đồ thị là (P) và đường thẳng d:y=mx-1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d cắt đồ thị hàm số (P) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho trung điểm I của đoạn thẳng AB thuộc đường thẳng Δ :y=x-1

Answer 1

Phương trình hoành độ giao điểm:

\(3x^2-x-5=mx-1\Rightarrow3x^2-\left(m+1\right)x-4=0\)

\(ac=-12< 0\Rightarrow\) phương trình luôn có 2 nghiệm hay (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt

Theo định lý Viet: \(x_A+x_B=\frac{m+1}{3}\)

\(\Rightarrow y_A+y_B=mx_A-1+mx_B-1=m\left(x_A+x_B\right)-2=\frac{m^2+m-6}{3}\)

Mà tọa độ trung điểm I của AB có dạng: \(\left\{{}\begin{matrix}x_I=\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{m+1}{6}\\y_I=\frac{y_A+y_B}{2}=\frac{m^2+m-6}{6}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\frac{m^2+m-6}{6}=\frac{m+1}{6}-1\)

\(\Rightarrow m^2=1\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=-1\end{matrix}\right.\)