Chương 3: NGUYÊN HÀM. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Huỳnh Bá Lộc

Cho hàm số f(x) có đạo hàm cấp hai liên tục trên \(\left(0;+\infty\right)\) và thoả mãn \(f\left(\frac{1}{4}\right)=2\), \(f'\left(\frac{1}{4}\right)=-4,\) \(f\left(x\right)>0\), \(\left(x.f'\left(x\right)\right)^2+f\left(x\right).x^2.f''\left(x\right)=\frac{1}{x}\) với mọi \(x\in\left(0;+\infty\right)\) . Đặt \(m=\int_1^{16}f'\left(\frac{x}{4}\right)dx\), khẳng định nào sau đây đúng

\(A.m=-6\)

\(B.m=\frac{1}{2}\)

\(C.m=-4\)

\(D.m=\frac{5}{2}\)

Nguyễn Việt Lâm
2 tháng 12 2020 lúc 17:30

\(\Leftrightarrow\left[f'\left(x\right)\right]^2+f\left(x\right).f''\left(x\right)=\frac{1}{x^3}\)

\(\Leftrightarrow\left[f'\left(x\right).f\left(x\right)\right]'=\frac{1}{x^3}\)

Lấy nguyên hàm 2 vế:

\(f'\left(x\right).f\left(x\right)=\int\frac{1}{x^3}dx=-\frac{1}{2x^2}+C\)

Thay \(x=\frac{1}{4}\Rightarrow-8=-8+C\Rightarrow C=0\)

\(\Rightarrow f'\left(x\right)f\left(x\right)=-\frac{1}{2x^2}\)

Tiếp tục lấy nguyên hàm 2 vế:

\(\int f\left(x\right).f'\left(x\right)dx=-\frac{1}{2}\int\frac{1}{x^2}dx\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}f^2\left(x\right)=\frac{1}{2x}+C\)

Thay \(x=\frac{1}{4}\Rightarrow2=2+C\Rightarrow C=0\Rightarrow f^2\left(x\right)=\frac{1}{x}\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{x}}\Rightarrow f'\left(x\right)=-\frac{1}{2x\sqrt{x}}\)

\(\Rightarrow m=\int\limits^{16}_1-\frac{1}{\frac{2x}{4}\sqrt{\frac{x}{4}}}dx=-6\)

Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
Tường Nguyễn Thế
Xem chi tiết
haudreywilliam
Xem chi tiết
AllesKlar
Xem chi tiết
haudreywilliam
Xem chi tiết
Tô Cường
Xem chi tiết
Pham Tien Dat
Xem chi tiết
Nguyễn Kiều Hạnh
Xem chi tiết
Nguyễn Kiều Hạnh
Xem chi tiết
Tô Cường
Xem chi tiết
haudreywilliam
Xem chi tiết