Question

Cho hàm số \(f\left(x\right)=\left(m-1\right)x^4-2mx^2+1\)

Biết \(\min\limits_{\left[0;3\right]}f\left(x\right)=f\left(2\right)\)

Tính \(\max\limits_{\left[0;3\right]}f\left(x\right)\)

Answer 1

\(f'\left(x\right)=4\left(m-1\right)x^3-4mx\); \(f''\left(x\right)=12\left(m-1\right)x^2-4m\)

Do min của hàm trên đoạn đã cho ko rơi vào 2 đầu mút

\(\Rightarrow x=2\) là cực tiểu của hàm 

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}f'\left(2\right)=0\\f''\left(2\right)>0\end{matrix}\right.\)  \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}32\left(m-1\right)-8m=0\\48\left(m-1\right)-4m>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m=\dfrac{4}{3}\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=\dfrac{1}{3}x^4-\dfrac{8}{3}x^2+1\)

\(f\left(0\right)=1;\) \(f\left(3\right)=4\)

\(\Rightarrow\max\limits_{\left[0;3\right]}f\left(x\right)=4\)