Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Thị Hồng Ngọc

cho hai số dương x,y có x+y=1

tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M=\(\left(1-\frac{1}{x^2}\right)\left(1-\frac{1}{y^2}\right)\)

Y Thu
20 tháng 4 2019 lúc 23:33

M=(\(1-\frac{1}{x^2}\) )(\(1-\frac{1}{y^2}\) ) =\(\left(1-\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1-\frac{1}{y}\right)\left(1+\frac{1}{y}\right)\)

=\(\frac{x-1}{x}.\frac{y-1}{y}.\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{y}\right)\) =\(\frac{x-\left(x+y\right)}{x}.\frac{y-\left(x+y\right)}{y}.\left(1+\frac{1}{x}\right).\left(1+\frac{1}{y}\right)\)

=\(\frac{\left(-x\right)\left(-y\right)}{xy}.\left(1+\frac{1}{x}\right).\left(1+\frac{1}{y}\right)\)

=\(\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{y}\right)\)

=\(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{xy}\ge1+\frac{4}{x+y}+\frac{1}{\frac{\left(x+y\right)^2}{4}}=1+4+\frac{1}{\frac{1}{4}}=9\)

vậy Mmin=9 khi x=y=\(\frac{1}{2}\)


Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Bùi Đại Hiệp
Xem chi tiết
btde
Xem chi tiết
Nguyễn Bùi Đại Hiệp
Xem chi tiết
Nguyễn Thanh Hiền
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Thu Hằng
Xem chi tiết
fghj
Xem chi tiết
Lunox Butterfly Seraphim
Xem chi tiết
Lâm Ánh Yên
Xem chi tiết
Rosie
Xem chi tiết