Question

Cho đường tròn (O;R) đường kính AB và điểm C bất kì thuộc đường tròn (C khác A và B)Kẻ tiếp tuyến tại A của đường tròn, tiếp tuyến này cắt BC ở D. Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn tại C cắt AD ở E.
1) Chứng minh bốn điểm A, E, C, O thuộc cùng một đường tròn.
2) Chứng minh 2 BC BD R . 4 R^2và OE song song với BD.
3) Đường thẳng kẻ qua O vuông góc với BC tại N cắt tia EC tại F. Chứng minh BF là tiếp tuyến của đường tròn (O;R).
4) Gọi H là hình chiếu của C trên AB, M là giao của AC và OE. Chứng minh rằng khi điểm C di động trên đường tròn (O;R) và thỏa mãn yêu cầu của đề bài thì đường tròn ngoại tiếp tam giác HMN luôn đi qua điểm cố định.

Answer 1

1: Xét tứ giác AECO có

góc EAO+góc ECO=180 độ

nen AECO là tứ giác nội tiếp

2:

Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔACB vuông tại C

Xét ΔBAD vuông tại A có AC là đường cao

nên BC*BD=BA^2=4*R^2

Xét (O) có

EA,EC là các tiếp tuyến

nên EA=EC

mà OA=OC

nên OE là đường trung trực của AC

=>OE//BC

3: ΔOBC cân tại O

mà OF là đường cao

nên OF là tia phân giác của góc COB

Xét ΔOBF và ΔOCF có

OB=OC

góc BOF=góc COF
OF chung

Do đó; ΔOBF=ΔOCF

=>góc OBF=90 độ

=>BF là tiếptuyến của (O)