Question

Cho đường tròn (O;R) có đường kính CD và M là điểm thuộc đường tròn (M ≠ C;M ≠ D).Tiếp tuyến tại M của (O) cắt tiếp tuyến tại C và D lần lượt tại A và B.
a.Chứng minh AC + BD = AB
b.Chứng minh tam giác AOB vuông
c.Chứng minh AC.BD=\(\dfrac{CD^2}{4}\)

Answer 1

a. Theo tc 2 tt cắt nhau: \(AC=AM;BM=BD\)

\(\Rightarrow AC+BD=AM+BM=AB\)

b. \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{AMO}=\widehat{ACO}=90^0\\AC=AM\\AO.chung\end{matrix}\right.\Rightarrow\Delta AOC=\Delta AOM \)

\(\Rightarrow\widehat{COA}=\widehat{AOM}=\dfrac{1}{2}\widehat{COM}\)

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ODB}=\widehat{OMB}=90^0\\BD=MB\\OB.chung\end{matrix}\right.\Rightarrow\Delta OBD=\Delta OBM\\ \Rightarrow\widehat{DOB}=\widehat{BOM}=\dfrac{1}{2}\widehat{DOM}\)

\(\Rightarrow\widehat{AOB}=\widehat{AOM}+\widehat{BOM}=\dfrac{1}{2}\left(\widehat{COM}+\widehat{DOM}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot180^0=90^0\\ \Rightarrow\Delta OAB\text{ vuông tại O}\)

c. Áp dụng HTL: \(AM\cdot MB=OM^2=R^2\)

Mà \(CD=2R;AM=AC;BM=BD\)

Vậy \(AC\cdot BD=AM\cdot BM=R^2=\left(\dfrac{CD}{2}\right)^2=\dfrac{CD^2}{4}\)