Question

cho đường tròn O đường kính AB . trên tiếp tuyến tại A của đường trong O lấy điểm C . Vẽ tuyếp tuyến CN và cát tuyến CDE ) tia CD nằm giữa 2 tai CA , CO . D,E thuộc đường tròn O , D nằm giữa C và E) . tia CO cắt BD và AN lần lượt tại M và H
A/chứng minh CA^2 = CD.CE và CD.CE =CH.CO
B/chứng minh tứ giác CMND nội tiếp
C/ gọi F là giao điểm của AM và đường tròn O( F khác A) . chứng minh 3 điểm E,O,F thẳng hàng
thankkkk

Answer 1

a) Vì CA là tiếp tuyến \(\Rightarrow\angle CAD=\angle CEA\) (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp chắn cung đó)

Xét \(\Delta CAD\) và \(\Delta CEA:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle CAD=\angle CEA\\\angle ACEchung\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta CAD\sim\Delta CEA\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{CA}{CE}=\dfrac{CD}{CA}\Rightarrow CA^2=CD.CE\)

mà \(CH.CO=CA^2\) (hệ thức lượng) \(\Rightarrow CD.CE=CH.CO\)

c) Vì AB là đường kính \(\Rightarrow\angle ADB=90\)

Vì CA,CN là tiếp tuyến \(\Rightarrow\Delta CAN\) cân tại C có CO là phân giác \(\angle ACN\)

\(\Rightarrow CO\bot AN\Rightarrow\angle AHM=90\)

\(\Rightarrow\angle AHM=\angle ADM=90\Rightarrow ADHM\) nội tiếp

Ta có: \(\angle EAF=\angle DAE-\angle DAF=180-\angle DBE-\angle CHD\) (ADHM,ADBE nội tiếp)

Ta có: \(CD.CE=CH.CO\Rightarrow\dfrac{CD}{CO}=\dfrac{CH}{CE}\)

Xét \(\Delta CHD\) và \(\Delta CEO:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{CD}{CO}=\dfrac{CH}{CE}\\\angle OCEchung\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta CHD\sim\Delta CEO\left(c-g-c\right)\Rightarrow\angle CHD=\angle CEO\Rightarrow DHOE\) nội tiếp 

\(\Rightarrow\angle CHD=\angle CEO=\angle DEO=\dfrac{180-\angle DOE}{2}=90-\dfrac{1}{2}\angle DOE\)

\(=90-\angle DBE\Rightarrow\angle EAF=180-\angle DBE-\left(90-\angle DBE\right)=90\)

\(\Rightarrow EF\) là đường kính \(\Rightarrow E,O,F\) thẳng hàng