cho đường tròn (O;R) AB là một dây của đường tròn (AB khác 2R ) Các tiếp tuyến A và B cắt nhau tại C . Trên dây AB lấy P Kẻ qua P đường thẳng vuông góc với OP đường thẳng này cắt CA tại E cắt CB tại D .
a) chứng minh tứ giác OPBD và OPAE nội tiếp
b) Chứng minh tam giác ODE cân
c) Chứng minh O , E , D , C cùng nằm trên một đường tròn
a) Xét tứ giác OPBD, có:
\(\widehat{OPD}=90^0\) (gt)
\(\widehat{OBD}=90^o\) (BC là tiếp tuyến)
Nên \(\widehat{OPD}+\widehat{ODP}=180^0\)
Do đó tứ giác OPBD nội tiếp.
CMTT : Tứ giác OPAE nội tiếp.
b)
Ta có:
OAP = OEP (tứ giác OPAE nt)
OBP = ODP (tứ giác OPDB nt)
Mà OBP = OAP (tam giác OAB cân tại O)
Nên OEP = ODP
hay OED = ODE (vì P ∈ ED)
Vậy tam giác OED cân tại O.
c) Xét tứ giác OACB có:
OAC + OBC = 90 + 90 = 180
=> T/g OACB nt
=> OCB = OAB (cùng chắn cung OB)
Lại có: OEP = OAB (cùng chắn cung OP)
Nên OCB = OEP
hay OCD = OED => T/g OEDC nt
Vậy O,E,D, C cùng năm trên 1 đường tròn
