Câu hỏi của Julian Edward

Question

Cho đường tròn O và dây AB. Vẽ đường kính CD vuông góc với AB ( D thuộc cung nhỏ AB). Trên cung nhỏ BC lấy 1 điểm N. Các đường thẳng CN và DN lần lượt cắt đường thẳng AB tại E và F. Tiếp tuyến của đường tròn O tại N cắt đường thẳng AB tại I. CMR:

a) Các tam giác INE và INF là tam giác cân

b) AI = (AE+AF)/2

giúp mk nhá, thanks :>>

Ngô Kim Tuyền · Accepted Answer

a) Ta có: $\widehat{CND}=90^o$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) (1)

Mà $\widehat{CHE}=90^o$ (2)

Ta lại có: $\widehat{HCN}$ là góc chung của $\Delta CDN$ và $\Delta CEH$ (3)

Từ (1), (2), (3) $\Rightarrow\Delta CDN\sim\Delta CEH\left(G-G\right)$

$\widehat{CDN}=\widehat{CEH}$ (4)

Từ (1) $\Rightarrow\widehat{ENF}=90^o$ (5)

Ta có: $\widehat{ENI}+\widehat{FNI}=\widehat{ENF}$ (6)

Mà $\widehat{ONF}+\widehat{FNI}=\widehat{ONI}$ (7)

Ta lại có: $\widehat{ONI}=90^o\left(gt\right)$ (8)

Từ (5), (6), (7), (8) $\Rightarrow\widehat{ENI}=\widehat{ONF}$ (9)

Từ (4) $\Rightarrow\widehat{ODN}=\widehat{NEI}$ (10)

Mà ON = OD = R (gt) $\Rightarrow\Delta DON$ cân tại O $\Rightarrow\widehat{ONF}=\widehat{ODN}$ (11)

Từ (9), (10), (11) $\Rightarrow\widehat{ENI}=\widehat{NEI}$ (12)

$\Rightarrow\Delta INE$ cân tại I (13)

Ta có: $\widehat{FNI}+\widehat{ENI}=\widehat{ENF}\left(14\right)$

Từ (5), (14) $\Rightarrow\widehat{FNI}+\widehat{ENI}=90^o$ (15)

Từ (5) $\Rightarrow$ $\widehat{NFI}+\widehat{NEI}=90^o$ (16)

Từ (12), (15), (16) $\Rightarrow\widehat{FNI}=\widehat{NFI}$

$\Rightarrow\Delta INF$ cân tại I (17)

b) Từ (13) $\Rightarrow EI=NI\left(18\right)$

Từ (17) $\Rightarrow FI=NI\left(19\right)$

Từ (18), (19) $\Rightarrow EI=FI$ (20)

Ta có:

AI = AF + FI (21)

AF + AE =  AF + AF + FI + EI (22)

Từ (20), (22) $\Rightarrow\dfrac{AF+AE}{2}=\dfrac{2AF+2FI}{2}=\dfrac{2\left(AF+FI\right)}{2}=AF+AI$ (23)

Từ (21), (23) $\Rightarrow AI=\dfrac{AF+AE}{2}$Câu trả lời: a) Ta có: $\widehat{CND}=90^o$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) (1)