Cho đường tròn (O), đường kính BC=2R, điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho tam giác ABC nhọn. Từ A kẻ 2 tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, F là giao điểm của AH và BC. CMR:
a, 5 điểm A,O,M,N,F cùng nằm trên 1 đường tròn
b,3 điểm M,N,H thẳng hàng
c, HA.HF=R2 - OH2
a) F,M,N cùng nhìn AO dưới 1 góc vuông
nên 5 điểm thuộc 1 đường tròn
b) Gọi I là trung điểm MN.G là chân đường cao kẻ từ C xuống AB.
Ta có: AI.AO=AM2=AG.AB=AH.AF.
Suy ra OIHF nội tiếp. NÊn HI vuông góc AO
mà MN vuông góc AO do MN là trung trực nên M,N,H thẳng hàng
c) Do tứ giác AMFN nội tiếp nên
HF . HA = HM . HN = (IM - IH) . (IN + IH) = IM2 - IH2= R2- (OI2+IH2)=R2 - OH\(^2\)
