Cho đường tròn (O), Điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Kẻ các tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AED tới (O) ( B, C là các tiếp điểm, E nằm giữa A và D). Gọi H là giao điểm của AO và BC.
1) chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp
2) Chứng minh AB2 = AE.AD và AE.AD = AH.AO
3) Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCD. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ICD thuộc (O)
Giúp em ý 3 với ạ ;;-;; em cảm ơn nhiềuuu
Lời giải:
1.
Vì $AB,AC$ là tiếp tuyến của $(O)$ nên \(AB\perp OB; AC\perp OC\)
\(\Rightarrow \widehat{ABO}=\widehat{ACO}=90^0\)
Tứ giác $ABOC$ có tổng hai góc đối nhau \(\widehat{ABO}+\widehat{ACO}=90^0+90^0=180^0\) nên $ABOC$ là tứ giác nội tiếp.
2.
Xét tam giác $ABE$ và $ADB$ có:
\(\widehat{A}\) chung
\(\widehat{ABE}=\widehat{ADB}\) (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung thì bằng góc nội tiếp chắn cung đó, cụ thể ở đây là cung $BE$)
\(\Rightarrow \triangle ABE\sim \triangle ADB(g.g)\)
\(\Rightarrow \frac{AB}{AD}=\frac{AE}{AB}\Rightarrow AB^2=AE.AD(1)\)
Vì $AB=AC$ (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau tại 1 điểm)
\(OB=OC=R\)
\(\Rightarrow OA\) là tiếp tuyến của $BC$. Do đó $OA\perp BC$ tại $H$
Xét tam giác vuông tại $B$ là $BAO$ có đường cao $AH$, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông thì \(AB^2=AH.AO(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow AE.AD=AH.AO\)
Vậy ta có đpcm.
3.Gọi \(K=BI\cap (O)\)
Vì $I$ là tâm đường tròn nội tiếp $BCD$ nên $BI,CI$ là phân giác góc \(\widehat{CBD}, \widehat{BCD}\)
\(\Rightarrow \widehat{CBK}=\widehat{DBK}\)\(\Rightarrow \text{cung (DK)}=\text{cung (CK)}\Rightarrow DK=CK(*)\)
Lại có:
\(\widehat{ICK}=\widehat{ICD}+\widehat{DCK}=\widehat{ICD}+\widehat{DBK}\) (góc nt cùng chắn cung $DK$)
\(=\frac{\widehat{BCD}}{2}+\frac{\widehat{DBC}}{2}=\widehat{BCI}+\widehat{CBI}=\widehat{CIK}\)
Do đó tam giác $CIK$ cân tại $K$
\(\Rightarrow KC=KI(**)\)
Từ \((*); (**)\Rightarrow KC=KD=KI\) hay $K$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $DCI$
Mà $K\in (O)$ nên ta có đpcm.
Cho đường tròn tâm (O). Từ điểm S ở ngoài đường tròn (O) kẻ các tiếp tuyến SA và SB với (O) (A, B là các tiếp điểm). Kẻ cát tuyến SCD không đi qua tâm O (C nằm giữa S và D). Gọi I là trung điểm của CD.a/ Chứng minh các điểm S, A, I, O, B cùng nằm trên một đường tròn.b/ Chứng minh IS là đường phân giác của góc AIB.c/ Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng SO và AB; N là giao điểm của hai đường thẳng SD và AB. Chứng minh MC.ND = NC.MD
